Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, yarıçapı ve yüzey alanı verilen bir silindirin yüksekliğini bulmamız isteniyor. Silindirin yüzey alanı formülünü kullanarak adım adım ilerleyelim.
1. Silindirin Yüzey Alanı Formülünü Hatırlayalım:
- Bir silindirin yüzey alanı, iki dairesel tabanının alanı ile yanal yüzeyinin alanının toplamından oluşur.
- Taban Alanı: Bir dairenin alanı $\pi r^2$ formülüyle bulunur. Silindirin iki tabanı olduğu için, iki tabanın toplam alanı $2\pi r^2$ olur.
- Yanal Alan: Silindirin yanal yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen oluşturur. Bu dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği ($h$), diğer kenarı ise taban dairesinin çevresi ($2\pi r$) kadardır. Dolayısıyla yanal alan $2\pi r h$ olur.
- Toplam Yüzey Alanı (A): Bu durumda, silindirin toplam yüzey alanı formülü şu şekildedir: $A = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
2. Verilen Değerleri Belirleyelim:
- Yarıçap ($r$) $= 3 \text{ cm}$
- Yüzey Alanı (A) $= 78\pi \text{ cm}^2$
3. Formülde Değerleri Yerine Koyarak Yüksekliği ($h$) Bulalım:
- Yüzey alanı formülümüz: $A = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
- Verilen değerleri formüle yerleştirelim: $78\pi = 2\pi (3)^2 + 2\pi (3) h$
- Önce yarıçapın karesini alalım ve çarpma işlemlerini yapalım: $78\pi = 2\pi (9) + 6\pi h$
- Denklemi sadeleştirelim: $78\pi = 18\pi + 6\pi h$
- Şimdi $18\pi$ değerini eşitliğin sol tarafına atarak $6\pi h$ ifadesini yalnız bırakalım. Unutmayın, eşitliğin diğer tarafına geçen terim işaret değiştirir: $78\pi - 18\pi = 6\pi h$
- Çıkarma işlemini yapalım: $60\pi = 6\pi h$
- Son olarak, $h$ değerini bulmak için eşitliğin her iki tarafını $6\pi$ ile bölelim: $h = \frac{60\pi}{6\pi}$
- $\pi$ sembolleri ve sayılar sadeleştiğinde yüksekliği buluruz: $h = 10 \text{ cm}$
Bu hesaplamalara göre silindirin yüksekliği $10 \text{ cm}$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
