\( C = (-\infty, -1) \) ve \( D = (-3, 4) \) kümeleri veriliyor. \( C \cup D \) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-∞,4)Bu soruda, iki aralık kümesinin birleşimini bulmamız isteniyor. Birleşim işlemi, kümelerden en az birinde bulunan tüm elemanları içeren yeni bir küme oluşturmak anlamına gelir.
Bize iki küme verilmiş:
$ C = (-\infty, -1) $: Bu küme, $-1$'den küçük tüm gerçek sayıları içerir. Yani, eksi sonsuzdan (dahil değil) $-1$'e (dahil değil) kadar olan tüm sayılar.
$ D = (-3, 4) $: Bu küme, $-3$ ile $4$ arasındaki tüm gerçek sayıları içerir. Yani, $-3$'ten (dahil değil) $4$'e (dahil değil) kadar olan tüm sayılar.
İki kümenin birleşimi ($ C \cup D $), bu kümelerden en az birinde bulunan tüm elemanların kümesidir. Başka bir deyişle, $ C $ kümesindeki sayılarla $ D $ kümesindeki sayıların hepsini bir araya getireceğiz. Sayı doğrusu üzerinde düşündüğümüzde, her iki kümenin de kapladığı toplam alanı bulacağız.
Bu tür problemleri çözmenin en kolay yollarından biri, kümeleri bir sayı doğrusu üzerinde göstermektir. Sayı doğrusu üzerinde kritik noktalarımız $-3$, $-1$ ve $4$ olacaktır.
$ C = (-\infty, -1) $ kümesini sayı doğrusunda gösterdiğimizde, $-1$'in solundaki tüm bölgeyi ($-1$ hariç) tararız. Bu bölge sol tarafa doğru sonsuza kadar uzanır.
$ D = (-3, 4) $ kümesini sayı doğrusunda gösterdiğimizde, $-3$ ile $4$ arasındaki bölgeyi ($-3$ ve $4$ hariç) tararız.
Şimdi bu iki taranmış bölgeyi birleştirdiğimizde (yani her iki kümenin de kapsadığı tüm alanı düşündüğümüzde) ne elde ettiğimize bakalım:
$ C $ kümesi sol taraftan $-\infty$ ile başlar ve $-1$'e kadar gelir.
$ D $ kümesi $-3$'ten başlar ve $4$'e kadar gider.
Bu iki kümeyi birleştirdiğimizde, $ C $ kümesinin sol ucu olan $-\infty$ birleşim kümesinin de sol ucu olacaktır. $ D $ kümesinin sağ ucu olan $4$ ise birleşim kümesinin sağ ucu olacaktır.
Aralıkların iç kısımlarına baktığımızda: $ C $ kümesi $-1$'in solunu, $ D $ kümesi ise $-3$ ile $4$ arasını kapsar. $-3$ ile $-1$ arasındaki bölge $ D $ kümesi tarafından zaten kapsanmaktadır. Dolayısıyla, birleşim kümesi bu iki aralığın tümünü kapsayacaktır.
Sayı doğrusundaki taralı bölgelerin tamamına baktığımızda, en soldaki uç noktanın $ C $ kümesinden gelen $-\infty$ olduğunu görürüz. En sağdaki uç noktanın ise $ D $ kümesinden gelen $4$ olduğunu görürüz. Bu iki uç nokta arasındaki tüm sayılar birleşim kümesinin içinde yer alır.
Dolayısıyla, $ C \cup D $ kümesi $-\infty$ ile $4$ arasındaki tüm sayıları içerir. Uç noktalar dahil olmadığı için açık aralık kullanırız.
$ C \cup D = (-\infty, 4) $
Bu sonuç, seçeneklerde A şıkkında verilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.
