tan(a+b) ve tan(a-b) formülü Test 1

tan x = 1/2 ve tan y = 1/3 ise tan(x-y) kaçtır?

A) 1/7
B) 1/5
C) 1/3
D) 1

Bu soruda, iki açının tanjant değerleri verilmiş ve bu açıların farkının tanjant değeri isteniyor. Bu tür soruları çözmek için trigonometrideki toplam ve fark formüllerini kullanırız. Özellikle tanjant fark formülünü hatırlamamız gerekiyor.

• Adım 1: Tanjant Fark Formülünü Hatırlayalım

  İki açının farkının tanjantını bulmak için kullandığımız formül şöyledir:

  $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$

• Adım 2: Verilen Değerleri Belirleyelim

  Soruda bize $\tan x = \frac{1}{2}$ ve $\tan y = \frac{1}{3}$ değerleri verilmiş. Formüldeki $A$ yerine $x$, $B$ yerine $y$ yazacağız.

• Adım 3: Değerleri Formülde Yerine Koyalım

  Şimdi verilen $\tan x$ ve $\tan y$ değerlerini tanjant fark formülünde yerine yazalım:

  $\tan(x-y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}$

  $\tan(x-y) = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\right)}$

• Adım 4: Pay ve Paydadaki İşlemleri Yapalım

  Önce pay kısmındaki çıkarma işlemini yapalım:

  $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$

  Şimdi de payda kısmındaki çarpma ve toplama işlemlerini yapalım:

  $1 + \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = 1 + \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = 1 + \frac{1}{6}$

  $1 + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6+1}{6} = \frac{7}{6}$

• Adım 5: Sonucu Bulalım

  Şimdi bulduğumuz pay ve payda değerlerini ana kesirde yerine yazalım:

  $\tan(x-y) = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{6}}$

  Kesirlerde bölme işlemi yaparken, birinci kesri aynen yazar, ikinci kesri ters çevirip çarparız:

  $\tan(x-y) = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{7}$

  Burada paydaki $6$ ile paydadaki $6$ sadeleşir:

  $\tan(x-y) = \frac{1}{\cancel{6}} \cdot \frac{\cancel{6}}{7} = \frac{1}{7}$

Böylece $\tan(x-y)$ değerini $\frac{1}{7}$ olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.