Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür üslü sayı sorularında, farklı tabanları aynı tabana dönüştürmek genellikle en kolay yoldur. Hadi sorumuzu adım adım çözelim:
- Adım 1: Tüm sayıları ortak bir tabana dönüştürelim.
- Sorudaki sayılar $5$, $25$ ve $125$. Bu sayıların hepsi $5$'in kuvvetleri olarak yazılabilir.
- $5 = 5^1$
- $25 = 5^2$
- $125 = 5^3$
- Şimdi bu değerleri sorudaki yerlerine yazalım:
- $ \frac{5^4 \cdot 25^2}{125^2} = \frac{5^4 \cdot (5^2)^2}{(5^3)^2} $
- Adım 2: Üslü sayıların kuvvetlerini düzenleyelim.
- Bir üslü sayının kuvvetinin kuvveti alınırken, kuvvetler çarpılır. Yani $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ kuralını uygulayacağız.
- Pay kısmındaki $(5^2)^2$ ifadesi $5^{2 \cdot 2} = 5^4$ olur.
- Payda kısmındaki $(5^3)^2$ ifadesi $5^{3 \cdot 2} = 5^6$ olur.
- Yeni ifademiz şu şekildedir: $ \frac{5^4 \cdot 5^4}{5^6} $
- Adım 3: Pay kısmını sadeleştirelim.
- Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken, üsler toplanır. Yani $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ kuralını uygulayacağız.
- Pay kısmındaki $5^4 \cdot 5^4$ ifadesi $5^{4+4} = 5^8$ olur.
- Yeni ifademiz şu şekildedir: $ \frac{5^8}{5^6} $
- Adım 4: Sonucu bulmak için bölme işlemini yapalım.
- Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. Yani $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ kuralını uygulayacağız.
- $ \frac{5^8}{5^6} = 5^{8-6} = 5^2 $
- Adım 5: Sonucun değerini hesaplayalım.
- $5^2$ demek $5$'i kendisiyle çarpmak demektir.
- $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$
Böylece işlemin sonucunu $25$ olarak bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
