A = {x ∈ R | -2 < x ≤ 3} ve B = {x ∈ R | 1 ≤ x < 5} kümeleri veriliyor.
A ∪ B kümesinin sayı doğrusunda gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
Sevgili öğrenciler, bu soruda iki kümenin birleşimini bulup sayı doğrusunda nasıl gösterildiğini anlamamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu konuyu pekiştirelim.
Öncelikle verilen kümeleri daha kolay anlaşılır olan aralık notasyonu şeklinde yazalım. Bu, sayı doğrusunda görselleştirmemizi kolaylaştıracaktır.
$A = \{x \in R | -2 < x \le 3\}$ kümesi, $x$ değerlerinin $-2$'den büyük ve $3$'e eşit veya $3$'ten küçük olduğu anlamına gelir. Aralık notasyonunda bu, $(-2, 3]$ şeklinde ifade edilir. Burada parantez '(', $-2$'nin kümeye dahil olmadığını; köşeli parantez ']', $3$'ün kümeye dahil olduğunu gösterir.
$B = \{x \in R | 1 \le x < 5\}$ kümesi, $x$ değerlerinin $1$'e eşit veya $1$'den büyük ve $5$'ten küçük olduğu anlamına gelir. Aralık notasyonunda bu, $[1, 5)$ şeklinde ifade edilir. Burada köşeli parantez '[', $1$'in kümeye dahil olduğunu; parantez ')', $5$'in kümeye dahil olmadığını gösterir.
Şimdi bu iki kümeyi zihnimizde veya bir kağıt üzerinde sayı doğrusunda canlandıralım:
A kümesi ($(-2, 3]$): Sayı doğrusunda $-2$ noktasını boş bir daire ile (dahil değil) ve $3$ noktasını dolu bir daire ile (dahil) işaretleyin. Bu iki nokta arasındaki tüm sayılar A kümesine aittir.
B kümesi ($[1, 5)$): Sayı doğrusunda $1$ noktasını dolu bir daire ile (dahil) ve $5$ noktasını boş bir daire ile (dahil değil) işaretleyin. Bu iki nokta arasındaki tüm sayılar B kümesine aittir.
İki kümenin birleşimi ($A \cup B$), her iki kümedeki tüm elemanları içeren kümedir. Yani, $A$'da olan veya $B$'de olan (veya her ikisinde de olan) tüm sayıları kapsarız. Sayı doğrusunda, bu iki aralığın kapladığı toplam alanı bulmak anlamına gelir.
A kümesi $-2$'den (hariç) başlar ve $3$'e (dahil) kadar gider.
B kümesi $1$'den (dahil) başlar ve $5$'e (hariç) kadar gider.
Bu iki aralığı birleştirdiğimizde, en soldaki başlangıç noktasından en sağdaki bitiş noktasına kadar olan tüm değerleri alırız.
En soldaki başlangıç noktası $-2$'dir. A kümesinde $-2$ dahil olmadığı için, birleşim kümesinde de $-2$ dahil olmayacaktır.
En sağdaki bitiş noktası $5$'tir. B kümesinde $5$ dahil olmadığı için, birleşim kümesinde de $5$ dahil olmayacaktır.
Bu durumda, $A \cup B$ kümesi $-2$'den büyük ve $5$'ten küçük tüm gerçek sayıları içerir.
Aralık notasyonunda bu, $(-2, 5)$ şeklinde yazılır.
Bulduğumuz $A \cup B = (-2, 5)$ sonucunu verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $(-2, 5)$
B) $(-2, 5]$
C) $[-2, 5)$
D) $[-2, 5]$
Görüldüğü gibi, bulduğumuz sonuç A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
