🎓 KPSS EBOB EKOK Test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, KPSS EBOB EKOK Test 1'de karşılaşabileceğiniz temel EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) kavramlarını, özelliklerini ve problem çözme yöntemlerini sade bir dille özetlemektedir. Bu konular, sayısal yetenek bölümünün önemli bir parçasıdır.
📌 Temel Kavramlar: Bölen ve Kat
EBOB ve EKOK konularına başlamadan önce, bir sayının bölenlerini ve katlarını iyi anlamak önemlidir. Ayrıca, sayıları asal çarpanlarına ayırma becerisi bu konunun temelini oluşturur.
- Bölen (Çarpan): Bir sayıyı kalansız olarak bölen sayılara o sayının bölenleri denir. Örneğin, 12'nin bölenleri $1, 2, 3, 4, 6, 12$'dir.
- Kat: Bir sayının kendisiyle veya başka bir tam sayıyla çarpılmasıyla elde edilen sayılara o sayının katları denir. Örneğin, 5'in katları $5, 10, 15, 20, \dots$'dir.
- Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaktır. Örneğin, $60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.
💡 İpucu: Asal çarpanlara ayırma, EBOB ve EKOK bulmanın en güvenilir ve sistematik yoludur.
📌 En Büyük Ortak Bölen (EBOB)
İki veya daha fazla sayının ortak bölenleri arasında en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir. Diğer adı OKEB (Ortak Katların En Büyüğü)'dir.
- Tanım: Verilen sayıları aynı anda bölen en büyük pozitif tam sayıdır.
- Nasıl Bulunur? Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar alınır ve çarpılır.
Örnek: $12 = 2^2 \cdot 3^1$ ve $18 = 2^1 \cdot 3^2$.
Ortak çarpanlar $2$ ve $3$'tür. $2$'nin en küçük üssü $2^1$, $3$'ün en küçük üssü $3^1$'dir.
EBOB$(12, 18) = 2^1 \cdot 3^1 = 6$.
- EBOB'un Özellikleri:
- EBOB, verilen sayılardan her birinden küçük veya eşittir.
- Aralarında asal sayıların EBOB'u $1$'dir. (Örn: EBOB$(7, 10) = 1$)
- Biri diğerinin katı olan sayılarda EBOB, küçük olan sayıdır. (Örn: EBOB$(10, 30) = 10$)
⚠️ Dikkat: EBOB problemleri genellikle "bölme", "ayırma", "parçalama", "eşit parçalara ayırma", "kutu/şişe sayısı bulma" gibi ifadeler içerir. Yani büyük bir bütünü küçük ve eşit parçalara ayırma amacı taşır.
📌 En Küçük Ortak Kat (EKOK)
İki veya daha fazla sayının pozitif ortak katları arasında en küçüğüne En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir. Diğer adı OKEK (Ortak Katların En Küçüğü)'dir.
- Tanım: Verilen sayılara aynı anda bölünebilen en küçük pozitif tam sayıdır.
- Nasıl Bulunur? Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar alınır ve çarpılır.
Örnek: $12 = 2^2 \cdot 3^1$ ve $18 = 2^1 \cdot 3^2$.
Tüm çarpanlar $2$ ve $3$'tür. $2$'nin en büyük üssü $2^2$, $3$'ün en büyük üssü $3^2$'dir.
EKOK$(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
- EKOK'un Özellikleri:
- EKOK, verilen sayılardan her birinden büyük veya eşittir.
- Aralarında asal sayıların EKOK'u, bu sayıların çarpımıdır. (Örn: EKOK$(7, 10) = 7 \cdot 10 = 70$)
- Biri diğerinin katı olan sayılarda EKOK, büyük olan sayıdır. (Örn: EKOK$(10, 30) = 30$)
💡 İpucu: EKOK problemleri genellikle "birleşme", "karşılaşma", "aynı anda tekrar etme", "en küçük ortak değer", "kare/küp oluşturma" gibi ifadeler içerir. Yani küçük parçalardan büyük bir bütün oluşturma veya olayların tekrar bir araya gelme zamanını bulma amacı taşır.
📌 EBOB ve EKOK Arasındaki İlişki
İki pozitif tam sayı için EBOB ve EKOK arasında önemli bir ilişki vardır.
- İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
Yani, $a \cdot b = \text{EBOB}(a,b) \cdot \text{EKOK}(a,b)$.
Örnek: $12 \cdot 18 = 216$. EBOB$(12, 18) = 6$, EKOK$(12, 18) = 36$.
$6 \cdot 36 = 216$. Bu kural doğrulanır.
- Bu ilişki, özellikle sayılardan biri bilinmediğinde veya EBOB/EKOK'tan biri verildiğinde diğerini bulmak için çok kullanışlıdır.
⚠️ Dikkat: Bu kural sadece iki sayı için geçerlidir. Üç veya daha fazla sayı için genellenemez.
📌 Problemlerde EBOB ve EKOK Kullanımı
KPSS'de EBOB ve EKOK soruları genellikle günlük hayat senaryoları şeklinde karşımıza çıkar. Doğru sonuca ulaşmak için problemin EBOB mu yoksa EKOK mu gerektirdiğini iyi anlamak gerekir.
- EBOB Gerektiren Durumlar:
- Farklı uzunluktaki çubukları eşit ve en büyük boyda parçalara ayırma.
- Farklı miktardaki sıvıları birbirine karıştırmadan eşit hacimli kaplara doldurma.
- Bir tarlanın etrafına eşit aralıklarla ve en az sayıda ağaç dikme (köşelere de gelmek şartıyla).
- Dikdörtgen şeklindeki bir alanı kare fayanslarla kaplama (en büyük boyutlu fayans).
- EKOK Gerektiren Durumlar:
- Farklı zaman aralıklarında çalan zillerin veya hareket eden otobüslerin ne zaman tekrar birlikte çalacağı/hareket edeceği.
- Farklı sayılarda artan nesnelerin (örneğin yumurta, şeker) en az kaç tane olduğunu bulma.
- Farklı boyutlardaki tuğlalarla en küçük hacimli bir küp oluşturma.
- Bir gruptaki kişilerin ikişerli, üçerli, dörderli sayıldığında hep belli bir sayıda artması durumunda grubun en az kaç kişi olduğunu bulma.
📝 Özetle: "Bütünü parçalara ayırma, küçültme, eşit bölme" dendiğinde EBOB; "parçaları birleştirme, büyütme, tekrar buluşturma" dendiğinde EKOK akla gelmelidir. Başarılar dilerim! 💪
