Aralarında asal sayılar Test 1

Hangi sayı çiftinin en küçük ortak katı (EKOK) ile çarpımı aynıdır?

A) 6 ve 8
B) 9 ve 12
C) 5 ve 7
D) 10 ve 15

Bu soruyu çözmek için, iki sayının çarpımı ile en küçük ortak katı (EKOK) arasındaki önemli bir ilişkiyi hatırlamamız gerekiyor.

İki sayının çarpımı, o sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) ile en küçük ortak katının (EKOK) çarpımına eşittir. Yani, $a$ ve $b$ gibi iki sayı için şu formül geçerlidir:

$a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b)$

Soruda bizden istenen, hangi sayı çifti için sayıların çarpımının EKOK'larına eşit olduğudur. Yani, $a \times b = \text{EKOK}(a, b)$ durumunu arıyoruz.

Bu durumda, yukarıdaki formülü kullanarak şunu söyleyebiliriz:

Eğer $a \times b = \text{EKOK}(a, b)$ ise, o zaman $\text{EBOB}(a, b)$ değeri 1 olmalıdır. Çünkü $a \times b = 1 \times \text{EKOK}(a, b)$ olur.

EBOB'u 1 olan sayılara "aralarında asal sayılar" denir. Bu nedenle, soruda aslında aralarında asal olan sayı çiftini bulmamız isteniyor. Şimdi her seçeneği inceleyelim:

• A) 6 ve 8:

  6 ve 8 sayılarının ortak bölenleri 1 ve 2'dir. En büyük ortak bölenleri (EBOB) 2'dir. ($\text{EBOB}(6, 8) = 2$). EBOB'ları 1 olmadığı için, bu sayıların çarpımı EKOK'larına eşit değildir. (Kontrol: $6 \times 8 = 48$, $\text{EKOK}(6, 8) = 24$. $48 \neq 24$)

• B) 9 ve 12:

  9 ve 12 sayılarının ortak bölenleri 1 ve 3'tür. En büyük ortak bölenleri (EBOB) 3'tür. ($\text{EBOB}(9, 12) = 3$). EBOB'ları 1 olmadığı için, bu sayıların çarpımı EKOK'larına eşit değildir. (Kontrol: $9 \times 12 = 108$, $\text{EKOK}(9, 12) = 36$. $108 \neq 36$)

• C) 5 ve 7:

  5 ve 7 sayılarının ortak bölenleri sadece 1'dir. En büyük ortak bölenleri (EBOB) 1'dir. ($\text{EBOB}(5, 7) = 1$). EBOB'ları 1 olduğu için, bu sayıların çarpımı EKOK'larına eşittir. Kontrol edelim: $5 \times 7 = 35$ ve $\text{EKOK}(5, 7) = 35$. Gördüğümüz gibi, çarpımları EKOK'larına eşittir.

• D) 10 ve 15:

  10 ve 15 sayılarının ortak bölenleri 1 ve 5'tir. En büyük ortak bölenleri (EBOB) 5'tir. ($\text{EBOB}(10, 15) = 5$). EBOB'ları 1 olmadığı için, bu sayıların çarpımı EKOK'larına eşit değildir. (Kontrol: $10 \times 15 = 150$, $\text{EKOK}(10, 15) = 30$. $150 \neq 30$)

Yapılan incelemeler sonucunda, sadece 5 ve 7 sayılarının EBOB'unun 1 olduğunu ve bu nedenle çarpımlarının EKOK'larına eşit olduğunu görmüş olduk.

Cevap C seçeneğidir.