11. Sınıf Analitik Geometri: İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü Test 1

X(8, 15) noktasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir?

A) 17
B) 19
C) 21
D) 23
E) 25

Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün koordinat düzleminde bir noktanın orijine olan uzaklığını nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür sorular, analitik geometrinin temel taşlarından biridir ve mantığını kavradığınızda çok kolay olduğunu göreceksiniz.

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Gerekli Bilgileri Belirleyelim.

  Bize verilen nokta $X(8, 15)$'tir. Orijin noktası ise koordinat düzleminin başlangıç noktasıdır ve koordinatları her zaman $O(0, 0)$ olarak kabul edilir. Bizden istenen, bu $X$ noktasının orijine olan uzaklığıdır.

• Adım 2: İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülünü Hatırlayalım.

  Koordinat düzleminde herhangi iki nokta, diyelim ki $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ arasındaki uzaklık $d$ aşağıdaki formülle bulunur:

  $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

  Bu formül aslında Pisagor Teoremi'nin bir uygulamasıdır. İki nokta arasındaki yatay ve dikey farkları bir dik üçgenin kenarları olarak düşünebiliriz.

• Adım 3: Noktaların Koordinatlarını Formülde Yerine Koyalım.

  Bizim durumumuzda noktalarımız $X(8, 15)$ ve $O(0, 0)$'dır. Bu değerleri formülde yerine yazalım:

  • $x_1 = 8$, $y_1 = 15$ (X noktasının koordinatları)
  • $x_2 = 0$, $y_2 = 0$ (Orijin noktasının koordinatları)

  $d = \sqrt{(0 - 8)^2 + (0 - 15)^2}$

• Adım 4: İşlemleri Yapalım.

  Şimdi parantez içindeki çıkarma işlemlerini ve ardından kare alma işlemlerini sırasıyla yapalım:

  $d = \sqrt{(-8)^2 + (-15)^2}$

  Negatif bir sayının karesi pozitif olacağı için:

  $(-8)^2 = 64$

  $(-15)^2 = 225$

  Bu değerleri formülde yerine koyalım:

  $d = \sqrt{64 + 225}$

  Toplama işlemini yapalım:

  $d = \sqrt{289}$

• Adım 5: Karekökü Hesaplayalım.

  Son olarak, 289'un karekökünü bulmamız gerekiyor. Hangi sayının karesi 289'dur?

  $17 \times 17 = 289$ olduğundan,

  $d = 17$ birimdir.

Böylece $X(8, 15)$ noktasının orijine olan uzaklığının 17 birim olduğunu bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.