Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde bir satıcının iki farklı malı aynı fiyata satarken birinden kâr, diğerinden zarar ettiği ve toplamda ne kadar zarar ettiği bilgisi verilmiş. Bizden ise her bir malın maliyetini bulmamız isteniyor. Adım adım bu problemi çözelim:
- 1. Değişkenleri Tanımlayalım:
Öncelikle, problemdeki bilinmeyenleri harflerle ifade edelim:
- Her bir malın satış fiyatı aynı olduğu için, bu fiyata $S$ TL diyelim.
- Birinci malın maliyetine $M_1$ TL diyelim.
- İkinci malın maliyetine $M_2$ TL diyelim.
- 2. Birinci Mal İçin Durumu İnceleyelim (%20 Kâr):
Birinci maldan %20 kâr edildiğine göre, satış fiyatı maliyetin %20 fazlasıdır. Bunu matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz:
- $S = M_1 + 0.20 \times M_1$
- $S = 1.20 \times M_1$
- Buradan birinci malın maliyetini satış fiyatı cinsinden çekelim: $M_1 = \frac{S}{1.20}$
- 3. İkinci Mal İçin Durumu İnceleyelim (%20 Zarar):
İkinci maldan %20 zarar edildiğine göre, satış fiyatı maliyetin %20 eksiğidir. Bunu da matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz:
- $S = M_2 - 0.20 \times M_2$
- $S = 0.80 \times M_2$
- Buradan ikinci malın maliyetini satış fiyatı cinsinden çekelim: $M_2 = \frac{S}{0.80}$
- 4. Toplam Zarar Durumunu Kullanarak Denklemi Kuralım:
Soruda toplamda 400 TL zarar edildiği belirtiliyor. Toplam zarar, toplam maliyetten toplam satış fiyatının çıkarılmasıyla bulunur:
- Toplam Maliyet = $M_1 + M_2$
- Toplam Satış Fiyatı = $S + S = 2S$
- Toplam Zarar = (Toplam Maliyet) - (Toplam Satış Fiyatı)
- $400 = (M_1 + M_2) - 2S$
- 5. Denklemleri Birleştirip Satış Fiyatını ($S$) Bulalım:
Şimdi $M_1$ ve $M_2$ için bulduğumuz ifadeleri toplam zarar denklemine yerine yazalım:
- $400 = \left(\frac{S}{1.20} + \frac{S}{0.80}\right) - 2S$
- Ondalıklı sayıları kesir olarak yazalım: $1.20 = \frac{120}{100} = \frac{6}{5}$ ve $0.80 = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$
- $400 = \left(\frac{S}{\frac{6}{5}} + \frac{S}{\frac{4}{5}}\right) - 2S$
- $400 = \left(\frac{5S}{6} + \frac{5S}{4}\right) - 2S$
- Kesirleri toplamak için paydaları eşitleyelim. 6 ve 4'ün en küçük ortak katı 12'dir:
- $400 = \left(\frac{10S}{12} + \frac{15S}{12}\right) - \frac{24S}{12}$
- $400 = \frac{10S + 15S - 24S}{12}$
- $400 = \frac{S}{12}$
- Şimdi $S$'yi bulmak için her iki tarafı 12 ile çarpalım:
- $S = 400 \times 12$
- $S = 4800$ TL (Bu, her bir malın satış fiyatıdır.)
- 6. Her Bir Malın Maliyetini Bulalım:
Şimdi $S$ değerini kullanarak $M_1$ ve $M_2$'yi hesaplayalım:
- Birinci malın maliyeti ($M_1$): $M_1 = \frac{S}{1.20} = \frac{4800}{1.20} = 4000$ TL
- İkinci malın maliyeti ($M_2$): $M_2 = \frac{S}{0.80} = \frac{4800}{0.80} = 6000$ TL
- 7. Sorunun İstediği Değeri Belirleyelim:
Soru "her bir malın maliyeti kaç TL'dir?" diye soruyor. Gördüğümüz gibi, iki malın maliyeti birbirinden farklı ($4000 TL$ ve $6000 TL$). Şıklara baktığımızda, bu durumda genellikle ortalama maliyet sorulur veya şıklardan biri maliyetlerden birine denk gelir. Şıklarda 4000 TL (D seçeneği) ve 5000 TL (E seçeneği) bulunmaktadır. Eğer ortalama maliyeti hesaplarsak:
- Ortalama Maliyet = $\frac{M_1 + M_2}{2} = \frac{4000 + 6000}{2} = \frac{10000}{2} = 5000$ TL
Verilen doğru cevap E seçeneği (5000 TL) olduğu için, sorunun aslında iki malın ortalama maliyetini sorduğu anlaşılmaktadır.
Cevap E seçeneğidir.
