11. Sınıf Matematik Analitik Geometri: Nokta ve Doğru Analitiği Test 1

A(4, -1) noktasının 3x + 4y - 12 = 0 doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulmak, analitik geometrinin temel konularından biridir. Bu tür soruları çözerken belirli bir formülü kullanırız. Şimdi adım adım bu soruyu nasıl çözeceğimizi görelim.

• Adım 1: Noktanın Doğruya Uzaklık Formülünü Hatırlayalım

  Bir $(x_0, y_0)$ noktasının $Ax + By + C = 0$ şeklindeki bir doğruya olan uzaklığı $d$ aşağıdaki formülle bulunur:

  $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

• Adım 2: Verilen Nokta ve Doğru Denklemini Belirleyelim

  Verilen nokta $A(x_0, y_0) = (4, -1)$'dir. Bu durumda $x_0 = 4$ ve $y_0 = -1$ olarak alınır.

  Verilen doğru denklemi $3x + 4y - 12 = 0$'dır. Bu denklemi $Ax + By + C = 0$ formatıyla karşılaştırdığımızda, $A = 3$, $B = 4$ ve $C = -12$ değerlerini elde ederiz.

• Adım 3: Formüldeki Değerleri Yerine Koyarak Hesaplama Yapalım

  Şimdi bulduğumuz $x_0, y_0, A, B, C$ değerlerini uzaklık formülüne yerleştirelim.

  Öncelikle formülün pay kısmını hesaplayalım: $|Ax_0 + By_0 + C|$

  $|3(4) + 4(-1) + (-12)|$

  $|12 - 4 - 12|$

  $|8 - 12|$

  $|-4|$

  $4$

  Şimdi de formülün payda kısmını hesaplayalım: $\sqrt{A^2 + B^2}$

  $\sqrt{3^2 + 4^2}$

  $\sqrt{9 + 16}$

  $\sqrt{25}$

  $5$

• Adım 4: Uzaklığı Bulalım

  Pay ve payda değerlerini formülde yerine koyarak uzaklığı hesaplayalım:

  $d = \frac{4}{5}$

  $d = 0.8$ birimdir.

Cevap B seçeneğidir.