A(1, 2) ve B(4, 6) noktaları veriliyor. |AC| = 2|CB| olacak şekilde C noktasının koordinatları nedir?
A) (2, 3)
B) (3, 4)
C) (2, 4)
D) (3, 5)
E) (4, 5)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki nokta arasındaki bir doğru parçasını belirli bir oranda bölen üçüncü bir noktanın koordinatlarını bulmamız isteniyor. Bu tür problemler için "Bölüm Formülü" veya "Kesit Formülü" adı verilen bir yöntem kullanırız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Soruyu Anlayalım:
- Bize $A(1, 2)$ ve $B(4, 6)$ noktaları verilmiş.
- $|AC| = 2|CB|$ koşulunu sağlayan $C$ noktasının koordinatlarını bulmamız isteniyor.
- Bu koşul, $C$ noktasının $A$ ve $B$ noktaları arasında olduğunu ve $A$'dan $C$'ye olan uzaklığın, $C$'den $B$'ye olan uzaklığın iki katı olduğunu ifade eder. Yani, $C$ noktası $AB$ doğru parçasını $A$ tarafından $2$ birim, $B$ tarafından $1$ birim oranında bölmektedir. Bu oranı $m:n = 2:1$ olarak düşünebiliriz. Burada $m=2$ ve $n=1$ olacaktır.
- 2. Bölüm Formülünü Hatırlayalım:
- Bir $P(x_1, y_1)$ ve $Q(x_2, y_2)$ noktalarını $m:n$ oranında içten bölen $R(x, y)$ noktasının koordinatları şu formülle bulunur:
$x = \frac{n x_1 + m x_2}{n+m}$
$y = \frac{n y_1 + m y_2}{n+m}$
- 3. Verilenleri Formüle Yerleştirelim:
- $A(x_A, y_A) = (1, 2)$
- $B(x_B, y_B) = (4, 6)$
- Oranımız $AC:CB = 2:1$ olduğu için, $m=2$ (B noktasıyla ilişkili oran) ve $n=1$ (A noktasıyla ilişkili oran) alacağız.
- Şimdi $C(x, y)$ noktasının koordinatlarını bulmak için formülü uygulayalım.
- 4. $C$ Noktasının x-koordinatını Hesaplayalım:
- $x_C = \frac{n x_A + m x_B}{n+m}$
- $x_C = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{1+2}$
- $x_C = \frac{1 + 8}{3}$
- $x_C = \frac{9}{3}$
- $x_C = 3$
- 5. $C$ Noktasının y-koordinatını Hesaplayalım:
- $y_C = \frac{n y_A + m y_B}{n+m}$
- $y_C = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 6}{1+2}$
- $y_C = \frac{2 + 12}{3}$
- $y_C = \frac{14}{3}$
- 6. $C$ Noktasının Koordinatlarını Belirleyelim:
- Hesaplamalarımıza göre $C$ noktasının koordinatları $(3, \frac{14}{3})$ olarak bulunur.
- Ancak, verilen seçeneklere baktığımızda $(3, \frac{14}{3})$ koordinatları bulunmamaktadır. Verilen doğru cevabın B seçeneği $(3, 4)$ olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, soruda bir yazım hatası olabileceğini varsayarak, $B$ noktasının y-koordinatının $6$ yerine $5$ olması durumunda sonucun ne olacağını kontrol edelim. Eğer $B(4, 5)$ olsaydı:
- $y_C = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 5}{1+2}$
- $y_C = \frac{2 + 10}{3}$
- $y_C = \frac{12}{3}$
- $y_C = 4$
- Bu durumda $C$ noktasının koordinatları $(3, 4)$ olurdu. Sorunun orijinal haliyle $(3, \frac{14}{3})$ bulunurken, seçeneklerdeki doğru cevaba ulaşmak için $B$ noktasının y-koordinatının $5$ olması gerektiği anlaşılmaktadır. Bu tür durumlarda, genellikle soruda bir hata olduğu kabul edilir ve en yakın veya hedeflenen cevaba ulaşacak şekilde bir düzeltme varsayılır.
Bu durumda, sorunun B seçeneği olan $(3, 4)$ cevabına ulaşmak için $B$ noktasının y-koordinatının $5$ olduğunu varsayarak çözüm yapılmıştır.
Cevap B seçeneğidir.
