11. Sınıf Matematik Analitik Geometri: Nokta ve Doğru Analitiği Test 1

3x - 4y + 5 = 0 ve 6x - 8y + 10 = 0 doğruları arasındaki ilişki nedir?

A) Kesişen
B) Paralel
C) Çakışık
D) Dik
E) Hiçbiri

Merhaba sevgili öğrenciler! Doğrular arasındaki ilişkiyi anlamak, analitik geometrinin temel konularından biridir. İki doğrunun birbirine göre konumunu belirlemek için genellikle eğimlerini ve y-eksenini kestikleri noktaları (y-kesenlerini) karşılaştırırız. Şimdi verilen doğruların ilişkisini adım adım inceleyelim.

• Adım 1: Doğruların Denklemlerini Standart Forma Getirme

  İki doğrunun denklemi verilmiş: $3x - 4y + 5 = 0$ ve $6x - 8y + 10 = 0$. Doğruların eğimlerini ve y-kesenlerini kolayca görebilmek için denklemleri $y = mx + b$ (eğim-kesen) formuna getirelim. Burada $m$ eğimi, $b$ ise y-eksenini kestiği noktayı (y-kesenini) temsil eder.

• Adım 2: Birinci Doğrunun Eğim ve Y-Kesenini Bulma

  İlk denklemimiz $3x - 4y + 5 = 0$. Bu denklemi $y = mx + b$ formuna dönüştürelim:

  • $-4y = -3x - 5$ (Her iki taraftan $3x$ ve $5$ çıkarıldı)
  • $y = \frac{-3x}{-4} + \frac{-5}{-4}$ (Her iki taraf $-4$'e bölündü)
  • $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$

  Bu durumda, birinci doğrunun eğimi $m_1 = \frac{3}{4}$ ve y-keseni $b_1 = \frac{5}{4}$'tür.

• Adım 3: İkinci Doğrunun Eğim ve Y-Kesenini Bulma

  İkinci denklemimiz $6x - 8y + 10 = 0$. Bu denklemi de $y = mx + b$ formuna dönüştürelim:

  • $-8y = -6x - 10$ (Her iki taraftan $6x$ ve $10$ çıkarıldı)
  • $y = \frac{-6x}{-8} + \frac{-10}{-8}$ (Her iki taraf $-8$'e bölündü)
  • $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$

  Bu durumda, ikinci doğrunun eğimi $m_2 = \frac{3}{4}$ ve y-keseni $b_2 = \frac{5}{4}$'tür.

• Adım 4: Eğimleri ve Y-Kesenleri Karşılaştırma

  Şimdi bulduğumuz değerleri karşılaştıralım:

  • Birinci doğrunun eğimi $m_1 = \frac{3}{4}$
  • İkinci doğrunun eğimi $m_2 = \frac{3}{4}$
  • Birinci doğrunun y-keseni $b_1 = \frac{5}{4}$
  • İkinci doğrunun y-keseni $b_2 = \frac{5}{4}$

  Görüldüğü gibi, her iki doğrunun da eğimleri birbirine eşittir ($m_1 = m_2$) ve y-eksenini kestikleri noktalar (y-kesenleri) da birbirine eşittir ($b_1 = b_2$).

• Adım 5: Doğrular Arasındaki İlişkiyi Belirleme

  İki doğru için hem eğimler eşitse hem de y-kesenler eşitse, bu iki doğru aslında aynı doğrudur. Yani, birbirlerinin üzerine çakışırlar.

  • Eğimler farklıysa: Kesişen doğrular.
  • Eğimler eşit, y-kesenler farklıysa: Paralel doğrular.
  • Eğimler eşit, y-kesenler de eşitse: Çakışık doğrular.
  • Eğimlerin çarpımı $-1$ ise: Dik kesişen doğrular.

  Bizim durumumuzda, eğimler ve y-kesenler eşit olduğu için doğrular çakışıktır.

Cevap C seçeneğidir.