f(x) = |2x - 4| + 1 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = 2 doğrusuna göre simetrik, tepe noktası (2,1) olan V şeklinde grafik
B) x = -2 doğrusuna göre simetrik, tepe noktası (-2,1) olan V şeklinde grafik
C) x = 2 doğrusuna göre simetrik, tepe noktası (2,-1) olan V şeklinde grafik
D) x = -2 doğrusuna göre simetrik, tepe noktası (-2,-1) olan V şeklinde grafik
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir mutlak değer fonksiyonunun grafiğinin temel özelliklerini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
-
Fonksiyonu Tanıyalım: Bize verilen fonksiyon $f(x) = |2x - 4| + 1$. Bu bir mutlak değer fonksiyonudur. Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri genellikle "V" şeklindedir.
-
Genel Mutlak Değer Fonksiyonu Formu: Bir mutlak değer fonksiyonunun genel formu $f(x) = a|x - h| + k$ şeklindedir. Bu formda:
- $(h, k)$ noktası grafiğin tepe noktasıdır (V'nin sivri ucu).
- $x = h$ doğrusu grafiğin simetri eksenidir.
- $a$ katsayısı pozitifse ($a > 0$), V yukarı doğru açılır. Negatifse ($a < 0$), V aşağı doğru açılır.
-
Verilen Fonksiyonu Genel Forma Dönüştürelim: Şimdi $f(x) = |2x - 4| + 1$ fonksiyonunu genel forma benzetmeye çalışalım.
- Öncelikle mutlak değerin içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım: $2x - 4 = 2(x - 2)$.
- Bu durumda fonksiyon $f(x) = |2(x - 2)| + 1$ olur.
- Mutlak değerin özelliklerinden biri olan $|ab| = |a||b|$ kuralını kullanarak ifadeyi yeniden düzenleyelim: $f(x) = |2| \cdot |x - 2| + 1$.
- $|2| = 2$ olduğu için fonksiyonumuz $f(x) = 2|x - 2| + 1$ şeklini alır.
-
Tepe Noktası ve Simetri Ekseni Belirleyelim: Elde ettiğimiz $f(x) = 2|x - 2| + 1$ fonksiyonunu genel form $f(x) = a|x - h| + k$ ile karşılaştıralım:
- $a = 2$ (pozitif olduğu için V yukarı doğru açılır).
- $h = 2$.
- $k = 1$.
Buna göre, grafiğin tepe noktası $(h, k) = (2, 1)$ noktasıdır. Grafiğin simetri ekseni ise $x = h$ yani $x = 2$ doğrusudur.
-
Seçenekleri Değerlendirelim: Bulduğumuz bu özelliklere göre seçenekleri inceleyelim:
- A) $x = 2$ doğrusuna göre simetrik, tepe noktası $(2,1)$ olan V şeklinde grafik. (Bu bizim bulgularımızla eşleşiyor.)
- B) $x = -2$ doğrusuna göre simetrik, tepe noktası $(-2,1)$ olan V şeklinde grafik. (Simetri ekseni ve tepe noktasının x değeri yanlış.)
- C) $x = 2$ doğrusuna göre simetrik, tepe noktası $(2,-1)$ olan V şeklinde grafik. (Tepe noktasının y değeri yanlış.)
- D) $x = -2$ doğrusuna göre simetrik, tepe noktası $(-2,-1)$ olan V şeklinde grafik. (Simetri ekseni ve tepe noktasının hem x hem de y değeri yanlış.)
Tüm bu adımları takip ettiğimizde, fonksiyonun grafiğinin $x = 2$ doğrusuna göre simetrik olduğunu ve tepe noktasının $(2,1)$ olduğunu görüyoruz. Ayrıca $a=2$ pozitif olduğu için V şeklindeki grafik yukarı doğru açılacaktır.
Cevap A seçeneğidir.
