f(x) = -2|4x - 8| + 6 fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Grafiğin tepe noktası (2,6)'dırBu soruda, bir mutlak değer fonksiyonunun özelliklerini inceleyeceğiz ve verilen seçeneklerden hangisinin doğru olduğunu adım adım bulacağız. Fonksiyonumuz $f(x) = -2|4x - 8| + 6$.
Mutlak değer fonksiyonlarının genel formu $f(x) = a|x - h| + k$ şeklindedir. Bu formda $(h, k)$ noktası fonksiyonun "köşe noktası" veya "kırılma noktası" olarak adlandırılır ve aynı zamanda fonksiyonun maksimum veya minimum değerini aldığı noktadır. $a$ katsayısı ise grafiğin yönünü belirler.
Verilen fonksiyonu bu standart forma dönüştürelim:
$f(x) = -2|4x - 8| + 6$
Mutlak değerin içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
$f(x) = -2|4(x - 2)| + 6$
Mutlak değerin özelliğini kullanarak $(|ab| = |a||b|)$ dışarıya $4$ katsayısını çıkarabiliriz:
$f(x) = -2 \cdot |4| \cdot |x - 2| + 6$
$f(x) = -2 \cdot 4 \cdot |x - 2| + 6$
$f(x) = -8|x - 2| + 6$
Şimdi fonksiyonumuz $f(x) = -8|x - 2| + 6$ şeklini aldı. Bu durumda $a = -8$, $h = 2$ ve $k = 6$ değerlerini görüyoruz.
Köşe Noktası: $(h, k)$ noktası, yani $(2, 6)$ noktasıdır. Bu nokta, mutlak değer fonksiyonunun grafiğinin "kırıldığı" noktadır.
Grafiğin Yönü: $a$ katsayısı $-8$ olduğu için (negatif bir sayı), mutlak değer fonksiyonunun grafiği aşağıya doğru açılır. Bu da $(2, 6)$ noktasının bir maksimum nokta olduğu anlamına gelir.
Simetri Ekseni: Mutlak değer fonksiyonları $x = h$ doğrusuna göre simetriktir. Bu durumda simetri ekseni $x = 2$ doğrusudur.
A) Grafiğin tepe noktası $(2,6)$'dır
Fonksiyonumuzun köşe noktası $(2,6)$'dır ve bu nokta aynı zamanda fonksiyonun en yüksek değerini aldığı noktadır. Ancak "tepe noktası" terimi genellikle paraboller (kuadratik fonksiyonlar) için kullanılırken, mutlak değer fonksiyonları için "köşe noktası" veya "kırılma noktası" terimleri daha yaygındır. Bu terminolojik ayrım nedeniyle, soruda tek bir doğru cevap beklendiği için bu seçeneği doğru kabul etmeyebiliriz.
B) Fonksiyonun maksimum değeri 6'dır
Fonksiyonun $a$ katsayısı negatif olduğu için grafik aşağıya doğru açılır ve köşe noktası $(2,6)$ bir maksimum noktadır. Bu durumda fonksiyonun alabileceği en büyük $y$ değeri, köşe noktasının $y$ koordinatı olan $6$'dır. Yani, fonksiyonun maksimum değeri $6$'dır. Bu ifade kesinlikle doğrudur.
C) Grafik $x = -2$ doğrusuna göre simetriktir
Yukarıda belirlediğimiz gibi, fonksiyonun simetri ekseni $x = h$ yani $x = 2$ doğrusudur. Dolayısıyla, $x = -2$ doğrusuna göre simetrik değildir. Bu seçenek yanlıştır.
D) Fonksiyon her zaman pozitif değerler alır
Fonksiyonun maksimum değeri $6$'dır ve grafik aşağıya doğru açılır. Bu, fonksiyonun $6$ ve daha küçük değerler alabileceği anlamına gelir. Örneğin, $x = 0$ için $f(0) = -2|4(0) - 8| + 6 = -2|-8| + 6 = -2(8) + 6 = -16 + 6 = -10$. Fonksiyon negatif değerler alabildiği için bu seçenek yanlıştır.
Yapılan değerlendirmeler sonucunda, B seçeneğindeki ifadenin kesinlikle doğru olduğunu görmekteyiz.
Cevap B seçeneğidir.
