f: {1, 2, 3} → {a, b, c} fonksiyonu f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c şeklinde tanımlanmıştır. Bu fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen bir fonksiyonun birebir ve örten özelliklerini incelememiz isteniyor. Fonksiyonun tanımını ve özelliklerini adım adım inceleyelim:
Bize verilen fonksiyon $f: \{1, 2, 3\} \to \{a, b, c\}$ şeklindedir. Bu, fonksiyonun tanım kümesinin $A = \{1, 2, 3\}$ ve değer kümesinin $B = \{a, b, c\}$ olduğu anlamına gelir. Fonksiyonun eşlemeleri ise şöyledir: $f(1)=a$, $f(2)=b$, $f(3)=c$.
Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki her farklı elemanın değer kümesinde farklı bir elemana eşlenmesi gerekir. Yani, eğer $x_1 \neq x_2$ ise, $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır. Başka bir deyişle, değer kümesindeki hiçbir eleman, tanım kümesindeki birden fazla elemanın görüntüsü olamaz.
Fonksiyonumuzun eşlemelerine bakalım:
Tanım kümesindeki elemanlar $1, 2, 3$ ve bunların görüntüleri $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$.
Farklı elemanlar ve görüntüleri şunlardır:
$1 \neq 2$ ve $f(1)=a \neq f(2)=b$.
$1 \neq 3$ ve $f(1)=a \neq f(3)=c$.
$2 \neq 3$ ve $f(2)=b \neq f(3)=c$.
Gördüğümüz gibi, tanım kümesindeki her farklı eleman, değer kümesinde farklı bir elemana eşlenmiştir. Bu durumda, verilen $f$ fonksiyonu birebirdir.
Bir fonksiyonun örten olması için, değer kümesindeki her elemanın, tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olması gerekir. Yani, değer kümesinde "boşta" kalan hiçbir eleman olmamalıdır. Bu durum, fonksiyonun görüntü kümesinin (range) değer kümesine (codomain) eşit olması anlamına gelir.
Fonksiyonumuzun değer kümesi $B = \{a, b, c\}$'dir. Fonksiyonun görüntü kümesi ise, tanım kümesindeki elemanların eşlendiği değerlerden oluşur: Görüntü Kümesi $= \{f(1), f(2), f(3)\} = \{a, b, c\}$.
Gördüğümüz gibi, fonksiyonun görüntü kümesi ($ \{a, b, c\} $) değer kümesine ($ \{a, b, c\} $) eşittir. Değer kümesindeki hiçbir eleman boşta kalmamıştır. Bu durumda, verilen $f$ fonksiyonu örtendir.
Yaptığımız incelemeler sonucunda, $f$ fonksiyonunun hem birebir hem de örten olduğunu bulduk.
Cevap C seçeneğidir.
