Soru: $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ olmak üzere $g(x) = 2x + 3$ fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyon birebir ve örten midir? Gösteriniz.
Çözüm:
- Birebirlik: $g(x_1) = g(x_2)$ olduğunu varsayalım. O zaman $2x_1 + 3 = 2x_2 + 3$ olur. İki tarafı sadeleştirirsek $2x_1 = 2x_2$ ve $x_1 = x_2$ elde ederiz. Bu, farklı $x$ değerlerinin aynı görüntüye sahip olamayacağını gösterir, dolayısıyla fonksiyon birebirdir.
- Örtenlik: Her $y \in \mathbb{R}$ için $g(x) = y$ olacak şekilde bir $x \in \mathbb{R}$ bulabilir miyiz? $y = 2x + 3$ denklemini $x$ için çözelim: $x = \frac{y - 3}{2}$. $y$ gerçek sayı olduğundan, $x$ de her zaman bir gerçek sayıdır. Bu, değer kümesindeki her elemanın bir öncülü olduğunu gösterir, yani fonksiyon örtendir.
