Soru: $k: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ fonksiyonu $k(x) = x^2$ olarak tanımlanıyor. Bu fonksiyon birebir midir? Örten midir? Sebepleriyle açıklayınız.
Çözüm:
- Birebirlik: $k(x_1) = k(x_2)$ olduğunu varsayalım, yani $x_1^2 = x_2^2$. Buradan $x_1 = x_2$ veya $x_1 = -x_2$ çıkar. Örneğin, $k(2) = 4$ ve $k(-2) = 4$ olduğundan, farklı elemanlar ($2$ ve $-2$) aynı görüntüye sahiptir. Bu nedenle fonksiyon birebir değildir.
- Örtenlik: Değer kümesi tüm tam sayılar ($\mathbb{Z}$) olduğundan, negatif tam sayıların karesi alınamaz (çünkü kare her zaman negatif olmaz). Örneğin, $-3 \in \mathbb{Z}$ için $k(x) = -3$ olacak şekilde bir $x \in \mathbb{Z}$ yoktur, çünkü hiçbir tam sayının karesi negatif olamaz. Bu nedenle fonksiyon örten değildir.
