Soru: $m: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ (pozitif gerçek sayılar) fonksiyonu $m(x) = e^x$ olarak veriliyor. Bu fonksiyonun birebir ve örten olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
- Birebirlik: $m(x_1) = m(x_2)$, yani $e^{x_1} = e^{x_2}$ olduğunu varsayalım. Her iki tarafın doğal logaritmasını alırsak: $\ln(e^{x_1}) = \ln(e^{x_2}) \Rightarrow x_1 = x_2$. Bu, farklı $x$ değerlerinin aynı görüntüye sahip olamayacağını gösterir, dolayısıyla fonksiyon birebirdir.
- Örtenlik: Değer kümesi $\mathbb{R}^+$'dır (tüm pozitif gerçek sayılar). Her $y > 0$ için $m(x) = y$ olacak şekilde bir $x \in \mathbb{R}$ bulabilir miyiz? $y = e^x$ denklemini $x$ için çözelim: $x = \ln(y)$. $y > 0$ olduğundan, $\ln(y)$ tanımlıdır ve bir gerçek sayıdır. Bu, değer kümesindeki her elemanın bir öncülü olduğunu gösterir, yani fonksiyon örtendir.
