Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir fonksiyonun birebir (injective) ve örten (surjective) olup olmadığını anlamak için temel tanımları ve bu tanımları verilen fonksiyona nasıl uygulayacağımızı öğreneceğiz. Fonksiyonumuz $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$, $f(x) = 2x$ olarak verilmiştir. Burada tanım kümesi ve değer kümesi tam sayılar kümesi ($\mathbb{Z}$)dir.
- Birebir (Injective) Fonksiyon Nedir?
- Bir fonksiyonun birebir olması demek, tanım kümesindeki farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması demektir. Yani, eğer $x_1 \neq x_2$ ise, $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır.
- Bunu test etmenin bir diğer yolu da şudur: Eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, bu ancak $x_1 = x_2$ olduğunda gerçekleşmelidir.
- $f(x) = 2x$ Fonksiyonunun Birebirliğini İnceleyelim:
- Farz edelim ki tanım kümesinden iki farklı eleman için görüntüler eşit olsun: $f(x_1) = f(x_2)$.
- Fonksiyon tanımını kullanarak bu eşitliği yazalım: $2x_1 = 2x_2$.
- Eşitliğin her iki tarafını $2$'ye bölersek, $x_1 = x_2$ sonucunu elde ederiz.
- Bu sonuç, görüntüler eşit olduğunda elemanların da eşit olması gerektiğini gösterir. Dolayısıyla, farklı elemanların görüntüleri de farklı olacaktır.
- Sonuç: $f(x) = 2x$ fonksiyonu birebirdir.
- Örten (Surjective) Fonksiyon Nedir?
- Bir fonksiyonun örten olması demek, değer kümesindeki (kodomain) her elemanın tanım kümesinde (domain) en az bir karşılığının olması demektir. Yani, değer kümesindeki hiçbir eleman açıkta kalmamalıdır.
- Matematiksel olarak, her $y \in \mathbb{Z}$ (değer kümesi) için, $f(x) = y$ olacak şekilde en az bir $x \in \mathbb{Z}$ (tanım kümesi) bulunmalıdır.
- $f(x) = 2x$ Fonksiyonunun Örtenliğini İnceleyelim:
- Değer kümesi $\mathbb{Z}$ (tam sayılar) olduğu için, değer kümesinden rastgele bir $y$ tam sayısı alalım ve bu $y$ için tanım kümesinde bir $x$ tam sayısı bulup bulamayacağımızı kontrol edelim.
- $f(x) = y$ eşitliğini kuralım: $2x = y$.
- Buradan $x = \frac{y}{2}$ elde ederiz.
- Şimdi değer kümesinden bir eleman seçelim. Örneğin, $y=1$ (tek bir tam sayı).
- Eğer $y=1$ ise, $x = \frac{1}{2}$ olur. Ancak $x$'in tanım kümesi olan $\mathbb{Z}$'de (tam sayılar) olması gerekir. $\frac{1}{2}$ bir tam sayı değildir.
- Benzer şekilde, $y=3$ (tek bir tam sayı) için $x = \frac{3}{2}$ olur ki bu da bir tam sayı değildir.
- Bu durum, değer kümesindeki tek tam sayıların (örneğin $1, 3, 5, \dots, -1, -3, \dots$) tanım kümesinde bir karşılığı olmadığını gösterir. Yani, değer kümesindeki tek sayılar "açıkta kalmıştır".
- Sonuç: $f(x) = 2x$ fonksiyonu örten değildir.
- Genel Değerlendirme:
- Fonksiyon birebirdir.
- Fonksiyon örten değildir.
- Bu durumda, fonksiyon sadece birebirdir.
Cevap A seçeneğidir.
