Fonksiyon çeşitleri (Birebir, Örten) Test 1

f: N → N, f(x) = x + 1 fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? (N: doğal sayılar kümesi)

A) Sadece birebirdir
B) Sadece örtendir
C) Hem birebir hem örtendir
D) Ne birebir ne örtendir

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, doğal sayılar kümesinden doğal sayılar kümesine tanımlı bir $f(x) = x + 1$ fonksiyonunun birebir ve örtenlik özelliklerini incelememiz isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Fonksiyonu ve Tanım/Değer Kümelerini Anlayalım:

  Fonksiyonumuz $f: N \rightarrow N$, $f(x) = x + 1$ şeklinde verilmiştir. Burada $N$ doğal sayılar kümesini temsil eder. Türkiye'deki matematik müfredatında genellikle $N = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ veya $N = \{1, 2, 3, ...\}$ olarak kabul edilir. Her iki durumda da çözümümüz aynı sonuca ulaşacaktır. Biz genellikle $N = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ kabul ederek ilerleyelim, ancak $N = \{1, 2, 3, ...\}$ kabul edildiğinde de sonuç değişmeyecektir.

• 2. Birebirlik (Injective) Özelliğini İnceleyelim:

  Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki farklı elemanların değer kümesinde de farklı görüntülere sahip olması gerekir. Yani, eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, bu durumda $x_1 = x_2$ olmalıdır.

  • $f(x_1) = f(x_2)$ eşitliğini kuralımıza göre yazalım:
  • $x_1 + 1 = x_2 + 1$
  • Eşitliğin her iki tarafından $1$ çıkarırsak:
  • $x_1 = x_2$

  Gördüğümüz gibi, $f(x_1) = f(x_2)$ kabul ettiğimizde $x_1 = x_2$ sonucuna ulaştık. Bu, fonksiyonun birebir olduğu anlamına gelir. Tanım kümesindeki her farklı doğal sayı, değer kümesinde farklı bir doğal sayıya eşlenir.

• 3. Örtenlik (Surjective) Özelliğini İnceleyelim:

  Bir fonksiyonun örten olması için, değer kümesindeki (görüntü kümesi de denir) her elemanın, tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olması gerekir. Yani, her $y \in N$ (değer kümesi) için, $f(x) = y$ olacak şekilde bir $x \in N$ (tanım kümesi) bulunmalıdır.

  • $f(x) = y$ eşitliğini kuralımıza göre yazalım:
  • $x + 1 = y$
  • $x$ değerini bulmak için $1$'i karşıya atalım:
  • $x = y - 1$

  Şimdi değer kümesindeki elemanlar için bu $x$ değerinin tanım kümesinde olup olmadığını kontrol edelim:

  • Eğer $N = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ kabul edersek:
  • Değer kümesindeki en küçük eleman olan $y = 0$ için $x$ değerini bulalım: $x = 0 - 1 = -1$.
  • Ancak $-1$ bir doğal sayı değildir, yani $x \notin N$.
  • Bu durumda, değer kümesindeki $0$ elemanının tanım kümesinde bir karşılığı yoktur. Dolayısıyla fonksiyon örten değildir.
  • Eğer $N = \{1, 2, 3, ...\}$ kabul edersek:
  • Değer kümesindeki en küçük eleman olan $y = 1$ için $x$ değerini bulalım: $x = 1 - 1 = 0$.
  • Ancak $0$ bu durumda bir doğal sayı değildir, yani $x \notin N$.
  • Bu durumda da, değer kümesindeki $1$ elemanının tanım kümesinde bir karşılığı yoktur. Dolayısıyla fonksiyon örten değildir.

  Her iki durumda da, değer kümesinde karşılığı olmayan en az bir eleman bulduğumuz için fonksiyon örten değildir.

• 4. Sonucu Değerlendirelim:

  Fonksiyonumuz birebirdir ancak örten değildir.

Bu durumda doğru seçenek, fonksiyonun sadece birebir olduğunu belirten seçenektir.

Cevap A seçeneğidir.