Aşağıda, bir şehirdeki iki farklı su deposunun zamana (saat) göre içindeki su miktarını (litre) gösteren doğrusal grafikler verilmiştir. Depo A'nın su miktarı $f(t) = -50t + 2000$ fonksiyonu ile, Depo B'nin su miktarı ise $g(t) = -75t + 2500$ fonksiyonu ile modellenmiştir. Buna göre, bu iki depo ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Depo A, Depo B'den daha hızlı boşalmaktadır.
B) Başlangıçta Depo A'daki su miktarı Depo B'den fazladır.
C) İki depo da aynı anda tamamen boşalır.
D) Depo B'nin başlangıçtaki su miktarı, Depo A'nın başlangıçtaki su miktarından 500 litre fazladır.
E) Depo A, Depo B'den daha kısa sürede boşalır.
Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen fonksiyonları ve ne anlama geldiklerini anlamamız gerekiyor. $f(t)$ Depo A'daki su miktarını, $g(t)$ ise Depo B'deki su miktarını gösteriyor. $t$ ise geçen süreyi (saat) ifade ediyor.
- A seçeneğini inceleyelim: Depo A'nın boşalma hızı $f(t)$ fonksiyonundaki $t$'nin katsayısı olan -50'dir. Depo B'nin boşalma hızı ise $g(t)$ fonksiyonundaki $t$'nin katsayısı olan -75'tir. Katsayıların mutlak değerlerine baktığımızda, Depo B'nin boşalma hızı (75), Depo A'nın boşalma hızından (50) daha büyüktür. Yani Depo B daha hızlı boşalır. Bu nedenle A seçeneği yanlıştır.
- B seçeneğini inceleyelim: Başlangıçta, yani $t=0$ iken Depo A'daki su miktarı $f(0) = -50(0) + 2000 = 2000$ litredir. Depo B'deki su miktarı ise $g(0) = -75(0) + 2500 = 2500$ litredir. Başlangıçta Depo B'de daha fazla su vardır, bu nedenle B seçeneği yanlıştır.
- C seçeneğini inceleyelim: Depoların ne zaman boşalacağını bulmak için, fonksiyonları sıfıra eşitlemeliyiz.
- Depo A için: $-50t + 2000 = 0 \Rightarrow 50t = 2000 \Rightarrow t = 40$ saat
- Depo B için: $-75t + 2500 = 0 \Rightarrow 75t = 2500 \Rightarrow t = \frac{100}{3} \approx 33.33$ saat
Görüldüğü gibi, depolar farklı zamanlarda boşalır. Bu nedenle C seçeneği yanlıştır.
- D seçeneğini inceleyelim: Başlangıçta Depo B'deki su miktarı 2500 litre, Depo A'daki su miktarı ise 2000 litredir. Aradaki fark $2500 - 2000 = 500$ litredir. Yani Depo B'nin başlangıçtaki su miktarı, Depo A'nın başlangıçtaki su miktarından 500 litre fazladır. Bu nedenle D seçeneği doğrudur.
- E seçeneğini inceleyelim: C seçeneğinde depoların ne zaman boşalacağını hesaplamıştık. Depo A 40 saatte, Depo B ise yaklaşık 33.33 saatte boşalır. Yani Depo B, Depo A'dan daha kısa sürede boşalır. Bu nedenle E seçeneği yanlıştır.
Cevap D seçeneğidir.
