7. Bir kutuda 3 mavi, 2 kırmızı top vardır. Rastgele bir top çekiliyor ve rengine bakılmadan ikinci bir top çekiliyor. İkinci topun mavi olduğu bilindiğine göre, ilk topun da mavi olma olasılığı nedir?
A) 1/2Bu problem, olasılık konusunda "koşullu olasılık" olarak adlandırdığımız bir durumu ele alıyor. Yani, bir olayın (ikinci topun mavi olması) gerçekleştiğini bildiğimizde, başka bir olayın (ilk topun mavi olması) gerçekleşme olasılığını hesaplayacağız. Gelin, bu ilginç problemi adım adım çözelim:
Kutuda $3$ adet mavi top ve $2$ adet kırmızı top bulunmaktadır. Bu durumda, kutudaki toplam top sayısı $3+2=5$'tir.
Bize verilen önemli bilgi şudur: "İkinci çekilen topun mavi olduğu biliniyor." Bu bilgi ışığında, ilk çekilen topun ne olabileceğine dair sadece iki olası senaryo vardır:
1. Senaryo 1: İlk çekilen top mavidir VE ikinci çekilen top da mavidir.
2. Senaryo 2: İlk çekilen top kırmızıdır VE ikinci çekilen top mavidir.
Bu iki senaryo dışında, ikinci topun mavi olma ihtimali yoktur. Şimdi bu senaryoların olasılıklarını tek tek hesaplayalım.
Senaryo 1: İlk top mavi, ikinci top mavi (Mavi-Mavi)
İlk topun mavi olma olasılığı: Kutuda $5$ toptan $3$'ü mavi olduğu için bu olasılık $P(\text{İlk Mavi}) = \frac{3}{5}$'tir.
İlk top mavi çekildikten sonra kutuda $2$ mavi ve $2$ kırmızı top kalır (toplam $4$ top).
İkinci topun mavi olma olasılığı (ilk topun mavi olduğu bilindiğinde): Kalan $4$ toptan $2$'si mavi olduğu için bu olasılık $P(\text{İkinci Mavi | İlk Mavi}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$'dir.
Bu senaryonun toplam olasılığı: $P(\text{İlk Mavi ve İkinci Mavi}) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$'dur.
Senaryo 2: İlk top kırmızı, ikinci top mavi (Kırmızı-Mavi)
İlk topun kırmızı olma olasılığı: Kutuda $5$ toptan $2$'si kırmızı olduğu için bu olasılık $P(\text{İlk Kırmızı}) = \frac{2}{5}$'tir.
İlk top kırmızı çekildikten sonra kutuda $3$ mavi ve $1$ kırmızı top kalır (toplam $4$ top).
İkinci topun mavi olma olasılığı (ilk topun kırmızı olduğu bilindiğinde): Kalan $4$ toptan $3$'ü mavi olduğu için bu olasılık $P(\text{İkinci Mavi | İlk Kırmızı}) = \frac{3}{4}$'tür.
Bu senaryonun toplam olasılığı: $P(\text{İlk Kırmızı ve İkinci Mavi}) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$'dur.
Bize sorulan soru şuydu: "İkinci topun mavi olduğu bilindiğine göre, ilk topun da mavi olma olasılığı nedir?"
Bu, Senaryo 1'in (ilk mavi ve ikinci mavi) olasılığının, ikinci topun mavi olduğu tüm olası senaryoların (Senaryo 1 + Senaryo 2) toplam olasılığına oranıdır.
Öncelikle, ikinci topun mavi olma olasılığını (tüm durumlar için) bulalım:
$P(\text{İkinci Mavi}) = P(\text{İlk Mavi ve İkinci Mavi}) + P(\text{İlk Kırmızı ve İkinci Mavi}) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10}$'dur.
Şimdi istenen koşullu olasılığı hesaplayalım:
$P(\text{İlk Mavi | İkinci Mavi}) = \frac{P(\text{İlk Mavi ve İkinci Mavi})}{P(\text{İkinci Mavi})} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{6}{10}}$
Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde:
$P(\text{İlk Mavi | İkinci Mavi}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ sonucunu elde ederiz.
Gördüğünüz gibi, ikinci topun mavi olduğu bilgisi, ilk topun mavi olma olasılığını $\frac{3}{5}$'ten $\frac{1}{2}$'ye değiştirdi. Bu tür problemler, olasılıkta "Bayes Teoremi"nin temel mantığını yansıtır.
Cevap A seçeneğidir.
