Soru:
Bir hastalık için yapılan testin doğruluk oranı şu şekildedir:
- Hastalığı olan birini tespit etme olasılığı (Hassasiyet) = \( P(T|H) = 0.99 \)
- Hastalığı olmayan birini doğru tespit etme olasılığı (Özgüllük) = \( P(T^c|H^c) = 0.95 \)
Toplumda bu hastalığın görülme sıklığı \( P(H) = 0.001 \)'dir. Rastgele seçilen bir kişiye test uygulandığında sonuç pozitif çıkıyorsa, bu kişinin gerçekten hasta olma olasılığı \( P(H|T) \) nedir?
Çözüm:
💡 Bu bir klasik Bayes Teoremi sorusudur. Amacımız, pozitif test sonucu verildiğinde, hastalığa sahip olma olasılığını bulmaktır.
- ➡️ 1. Adım: Bayes Teoremini yazalım: \( P(H|T) = \frac{P(T|H) \cdot P(H)}{P(T)} \)
- ➡️ 2. Adım: Paydadaki toplam olasılığı \( P(T) \)'yi bulmalıyız. \( P(T) = P(T|H)P(H) + P(T|H^c)P(H^c) \) formülünü kullanırız. \( P(T|H^c) = 1 - P(T^c|H^c) = 1 - 0.95 = 0.05 \) ve \( P(H^c) = 1 - P(H) = 0.999 \) olduğunu biliyoruz.
- ➡️ 3. Adım: Hesaplamaları yapalım:
\( P(T) = (0.99 \times 0.001) + (0.05 \times 0.999) = 0.00099 + 0.04995 = 0.05094 \)
- ➡️ 4. Adım: Şimdi Bayes formülünde yerine koyalım:
\( P(H|T) = \frac{0.99 \times 0.001}{0.05094} = \frac{0.00099}{0.05094} \approx 0.0194 \)
✅ Sonuç: \( P(H|T) \approx 0.0194 \) yani yaklaşık %1.94'tür. Bu, test pozitif olsa bile hastalık olasılığının düşük kalabildiğini gösteren çarpıcı bir örnektir.
