Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, mutlak değer içeren bir eşitsizliği adım adım nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. Sorumuz $|2x - 1| \leq 5$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmak.
- Adım 1: Mutlak Değer Eşitsizliğinin Temel Kuralını Anlama
- Mutlak değer eşitsizliklerinde, $|u| \leq a$ (burada $a$ pozitif bir sayıdır) şeklindeki bir ifade, $u$'nun $-a$ ile $a$ arasında olduğunu gösterir. Yani, bu eşitsizliği $-a \leq u \leq a$ şeklinde yazabiliriz. Bu kural, mutlak değerin bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade etmesinden gelir. Uzaklık $a$'dan küçük veya eşitse, sayı $-a$ ile $a$ arasında olmalıdır.
- Bizim eşitsizliğimizde $u = 2x - 1$ ve $a = 5$'tir.
- Adım 2: Eşitsizliği Genişletme
- Yukarıdaki kuralı kullanarak, $|2x - 1| \leq 5$ eşitsizliğini şu şekilde yeniden yazabiliriz:
- $-5 \leq 2x - 1 \leq 5$
- Adım 3: Eşitsizliği Çözme (Ortadaki Terimi Yalnız Bırakma)
- Şimdi amacımız $x$'i yalnız bırakmaktır. İlk olarak, ortadaki $2x - 1$ terimindeki sabit sayıyı ($ -1 $) yok edelim. Bunu yapmak için eşitsizliğin her üç tarafına da $1$ eklememiz gerekir:
- $-5 + 1 \leq 2x - 1 + 1 \leq 5 + 1$
- Bu işlemi yaptığımızda eşitsizliğimiz şu hale gelir:
- $-4 \leq 2x \leq 6$
- Adım 4: Eşitsizliği Çözme (x'i Yalnız Bırakma)
- Şimdi ortadaki $2x$ terimindeki $2$ katsayısını yok etmeliyiz. Bunu yapmak için eşitsizliğin her üç tarafını da $2$'ye böleriz. Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez:
- $\frac{-4}{2} \leq \frac{2x}{2} \leq \frac{6}{2}$
- Bu işlemi yaptığımızda $x$ için aralığı buluruz:
- $-2 \leq x \leq 3$
- Adım 5: Çözüm Kümesini Belirleme
- Bulduğumuz $-2 \leq x \leq 3$ ifadesi, $x$ değerinin $-2$'ye eşit veya daha büyük, aynı zamanda $3$'e eşit veya daha küçük olduğu anlamına gelir. Bu tür bir aralık, matematikte kapalı aralık olarak ifade edilir. Köşeli parantezler, uç noktaların da çözüm kümesine dahil olduğunu gösterir.
- Çözüm kümesi: $[-2, 3]$
- Adım 6: Seçeneklerle Karşılaştırma
- Elde ettiğimiz çözüm kümesi $[-2, 3]$'tür. Seçeneklere baktığımızda, A seçeneği bu çözüm kümesini doğru bir şekilde ifade etmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
