|x - 2| > 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-∞, 1) ∪ (3, ∞)Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Örneğin, $ |3| = 3 $ ve $ |-3| = 3 $'tür. Bu eşitsizlikte, $ |x - 2| > 1 $ ifadesi, $ x - 2 $ sayısının sıfıra olan uzaklığının 1'den büyük olduğu anlamına gelir.
Genel olarak, eğer $ |u| > a $ (burada $ a $ pozitif bir sayı) şeklinde bir eşitsizliğimiz varsa, bu iki farklı durumu ifade eder:
1. $ u > a $ (yani $ u $ sayısı $ a $'dan büyüktür)
2. VEYA $ u < -a $ (yani $ u $ sayısı $ -a $'dan küçüktür)
Bu iki durumu ayrı ayrı çözüp, sonuçlarını birleştireceğiz.
Bizim eşitsizliğimiz $ |x - 2| > 1 $ olduğu için, yukarıdaki kuralı uygulayalım. Burada $ u = x - 2 $ ve $ a = 1 $'dir.
Bu durumda iki ayrı eşitsizlik elde ederiz:
1. Durum 1: $ x - 2 > 1 $
2. Durum 2: $ x - 2 < -1 $
Şimdi her iki durumu ayrı ayrı çözelim:
Durum 1 için:
$ x - 2 > 1 $
Eşitsizliğin her iki tarafına 2 ekleyelim:
$ x - 2 + 2 > 1 + 2 $
$ x > 3 $
Bu durumun çözüm kümesi $ (3, \infty) $ aralığıdır.
Durum 2 için:
$ x - 2 < -1 $
Eşitsizliğin her iki tarafına 2 ekleyelim:
$ x - 2 + 2 < -1 + 2 $
$ x < 1 $
Bu durumun çözüm kümesi $ (-\infty, 1) $ aralığıdır.
Mutlak değer eşitsizliğinin kuralında "VEYA" bağlacı kullandığımız için, bulduğumuz iki çözüm kümesini birleştirmemiz (birleşimini almamız) gerekir.
Yani, $ x > 3 $ VEYA $ x < 1 $.
Bu iki aralığın birleşimi $ (-\infty, 1) \cup (3, \infty) $ şeklinde yazılır.
Bu, sayı doğrusunda 1'den küçük tüm sayılar ile 3'ten büyük tüm sayıları kapsayan bir kümedir.
Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz çözüm kümesinin A seçeneği ile aynı olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
