Bir miktar para 4 yıl boyunca yıllık %50 bileşik faizle bankaya yatırılıyor. Banka faizi her yıl için \( \left(1 + \dfrac{50}{100}\right)^{4} \) formülüyle hesaplıyor. Bu formülün sadeleştirilmiş hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( 2^{4} \)Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bileşik faiz formülünün nasıl sadeleştirileceğini adım adım inceleyeceğiz. Matematiksel ifadeleri sadeleştirmek, hem işlemleri kolaylaştırır hem de konuyu daha iyi anlamamızı sağlar. Haydi başlayalım!
Öncelikle bize verilen ifadeyi dikkatlice inceleyelim: $ \left(1 + \dfrac{50}{100}\right)^{4} $. Bu ifade, bir ana paranın yıllık %50 bileşik faizle 4 yıl sonunda ne kadar büyüyeceğini hesaplamak için kullanılır.
Formülün içindeki parantez kısmını sadeleştirmeye başlayalım. İlk olarak kesirli ifade olan $ \dfrac{50}{100} $ kısmını en sade haline getirelim. Hem payı (üstteki sayı) hem de paydayı (alttaki sayı) $50$ ile bölebiliriz:
$ \dfrac{50}{100} = \dfrac{50 \div 50}{100 \div 50} = \dfrac{1}{2} $
Şimdi bu sadeleşmiş kesri parantez içindeki toplama işlemine yerleştirelim:
$ \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)^{4} $
Parantez içindeki toplama işlemini yapalım. $1$ sayısını paydası $2$ olacak şekilde bir kesir olarak yazabiliriz. Yani $1 = \dfrac{2}{2}$'dir.
$ \left(\dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2}\right)^{4} $
Şimdi kesirleri toplayalım. Paydalar aynı olduğu için sadece payları toplarız:
$ \left(\dfrac{2+1}{2}\right)^{4} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{4} $
İşte formülümüzün sadeleştirilmiş hali $ \left(\dfrac{3}{2}\right)^{4} $ olarak bulundu. Şimdi bu sonucu seçeneklerimizle karşılaştıralım:
Gördüğümüz gibi, bulduğumuz sadeleştirilmiş ifade B seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
