Aşağıdakilerden hangisi $tan(x)$ fonksiyonunun grafiğinin temel özelliklerinden biri değildir?
A) Periyodik bir fonksiyon olması
B) Sürekli bir fonksiyon olması
C) Dikey asimptotlara sahip olması
D) Orijine göre simetrik olması
Merhaba sevgili öğrenciler, $tan(x)$ fonksiyonunun grafiğinin temel özelliklerini adım adım inceleyelim ve sorumuzun cevabını bulalım.
- A) Periyodik bir fonksiyon olması:
- Bir fonksiyonun periyodik olması, belirli bir aralıkta kendini tekrar etmesi demektir. $tan(x)$ fonksiyonu, $tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$ şeklinde tanımlanır.
- $tan(x)$ fonksiyonunun periyodu $\pi$ radyan veya $180^\circ$'dir. Yani, $tan(x+\pi) = tan(x)$ eşitliği her zaman geçerlidir. Bu, grafiğin her $\pi$ birimde aynı deseni tekrarladığı anlamına gelir.
- Dolayısıyla, $tan(x)$ periyodik bir fonksiyondur. Bu özellik doğrudur.
- B) Sürekli bir fonksiyon olması:
- Bir fonksiyonun sürekli olması, grafiğinin kalem kaldırmadan çizilebilmesi demektir. Yani, tanım kümesindeki her noktada fonksiyonun bir değeri olmalı ve bu değer etrafında ani sıçramalar veya kopukluklar olmamalıdır.
- $tan(x)$ fonksiyonu, $cos(x) = 0$ olduğu noktalarda tanımsızdır. $cos(x) = 0$ eşitliği $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (burada $k$ bir tam sayıdır) değerlerinde gerçekleşir. Örneğin, $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}$ gibi noktalarda $tan(x)$ tanımsızdır.
- Bu noktalarda $tan(x)$ fonksiyonunun grafiğinde dikey asimptotlar bulunur ve fonksiyon bu noktalarda kopukluk gösterir. Bu nedenle, $tan(x)$ fonksiyonu tüm tanım kümesinde sürekli değildir. Belirli aralıklarda sürekli olsa da, genel olarak sürekli bir fonksiyon değildir.
- Dolayısıyla, bu özellik $tan(x)$ için doğru değildir.
- C) Dikey asimptotlara sahip olması:
- Dikey asimptotlar, fonksiyonun değerinin sonsuza yaklaştığı dikey çizgilerdir.
- Yukarıda da belirttiğimiz gibi, $tan(x)$ fonksiyonu $cos(x) = 0$ olduğu noktalarda ($x = \frac{\pi}{2} + k\pi$) tanımsızdır ve bu noktalarda fonksiyonun değeri pozitif veya negatif sonsuza yaklaşır.
- Bu dikey çizgiler, $tan(x)$ grafiğinin dikey asimptotlarıdır.
- Dolayısıyla, $tan(x)$ dikey asimptotlara sahiptir. Bu özellik doğrudur.
- D) Orijine göre simetrik olması:
- Bir fonksiyonun orijine göre simetrik olması (tek fonksiyon olması), $f(-x) = -f(x)$ koşulunu sağlaması demektir.
- $tan(-x)$ ifadesini inceleyelim:
$tan(-x) = \frac{sin(-x)}{cos(-x)}$
Trigonometrik özdeşliklerden $sin(-x) = -sin(x)$ ve $cos(-x) = cos(x)$ olduğunu biliyoruz.
Bu durumda, $tan(-x) = \frac{-sin(x)}{cos(x)} = -tan(x)$ olur.
- Bu eşitlik, $tan(x)$ fonksiyonunun orijine göre simetrik (tek) bir fonksiyon olduğunu gösterir.
- Dolayısıyla, bu özellik doğrudur.
İncelemelerimiz sonucunda, $tan(x)$ fonksiyonunun grafiğinin temel özelliklerinden biri olmayan seçeneğin "Sürekli bir fonksiyon olması" olduğu anlaşılmıştır.
Cevap B seçeneğidir.
