Trigonometrik fonksiyonların periyotları Test 1

$g(x) = 2\cos(\frac{x}{3})$ fonksiyonunun periyodu nedir?

A) $2\pi$
B) $4\pi$
C) $6\pi$
D) $8\pi$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Trigonometrik fonksiyonların periyodunu bulmak, fonksiyonun belirli aralıklarla kendini tekrar etme özelliğini anlamak demektir. Şimdi $g(x) = 2\cos(\frac{x}{3})$ fonksiyonunun periyodunu adım adım bulalım.

• Periyot Nedir?

  Bir trigonometrik fonksiyonun periyodu, fonksiyonun grafik olarak kendini tekrar etmeye başladığı en küçük pozitif aralıktır. Yani, fonksiyonun bir tam döngüyü tamamlaması için gereken $x$ değerindeki değişimdir.

• Kosinüs Fonksiyonunun Genel Periyot Formülü:

  Genel olarak, $f(x) = A\cos(Bx + C) + D$ şeklindeki bir kosinüs fonksiyonunun periyodu $T$ şu formülle bulunur:

  $T = \frac{2\pi}{|B|}$

  Burada $A$, genliği; $B$, periyodu etkileyen katsayıyı; $C$, faz kaymasını ve $D$, düşey kaymayı temsil eder. Periyodu belirleyen temel katsayı $B$'dir.

• Fonksiyonumuzu Genel Formla Karşılaştırma:

  Bize verilen fonksiyon $g(x) = 2\cos(\frac{x}{3})$ şeklindedir.

  Bu fonksiyonu genel $A\cos(Bx + C) + D$ formuyla karşılaştırırsak:

  • $A = 2$ (Bu değer fonksiyonun genliğini etkiler ama periyodunu etkilemez.)
  • $B = \frac{1}{3}$ (Bu değer periyodu belirleyen ana katsayıdır.)
  • $C = 0$ (Faz kayması yoktur.)
  • $D = 0$ (Düşey kayma yoktur.)

  Periyodu bulmak için ihtiyacımız olan değer $B = \frac{1}{3}$'tür.

• Periyot Formülünü Uygulama:

  Şimdi $B = \frac{1}{3}$ değerini periyot formülüne yerleştirelim:

  $T = \frac{2\pi}{|B|}$

  $T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|}$

  $T = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}}$

• Hesaplama:

  Kesirli bir ifadeyi bölmek, payı paydanın tersiyle çarpmak demektir:

  $T = 2\pi \times 3$

  $T = 6\pi$

Buna göre, $g(x) = 2\cos(\frac{x}{3})$ fonksiyonunun periyodu $6\pi$'dir.

Cevap C seçeneğidir.