Trigonometrik fonksiyonların periyotları Test 1

$h(x) = \tan(4x)$ fonksiyonunun periyodu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{\pi}{4}$
B) $\frac{\pi}{2}$
C) $\pi$
D) $2\pi$

Bugün, $h(x) = \tan(4x)$ fonksiyonunun periyodunu nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bir trigonometrik fonksiyonun periyodu, fonksiyonun değerlerinin belirli bir aralıkta tekrar etmesini sağlayan en küçük pozitif sayıdır.

• Adım 1: Tanjant Fonksiyonunun Genel Periyot Formülünü Hatırlayalım

  Genel olarak, $f(x) = a \tan(bx + c)$ şeklindeki bir tanjant fonksiyonunun periyodu $T = \frac{\pi}{|b|}$ formülü ile bulunur. Burada $a$, $b$ ve $c$ birer sabittir ve $b \neq 0$ olmalıdır. Bu formül, tanjant fonksiyonunun temel periyodunun $\pi$ olmasından ve $x$'in katsayısı olan $b$'nin bu periyodu nasıl etkilediğinden gelir.

• Adım 2: Verilen Fonksiyonu Genel Form ile Karşılaştıralım

  Bize verilen fonksiyon $h(x) = \tan(4x)$'tir. Bu fonksiyonu genel form olan $f(x) = a \tan(bx + c)$ ile karşılaştırdığımızda, periyot formülü için ihtiyacımız olan $b$ değerini belirlememiz gerekir. Fonksiyonumuzda $x$'in katsayısı $4$'tür, bu yüzden $b = 4$ olur. Fonksiyonun önündeki $a$ değeri ($1$) ve $x$'e eklenen $c$ değeri ($0$) tanjant fonksiyonunun periyodunu etkilemez.

• Adım 3: Periyot Formülünü Uygulayalım

  Bulduğumuz $b = 4$ değerini periyot formülü $T = \frac{\pi}{|b|}$'de yerine yazalım. Mutlak değer, periyodun her zaman pozitif bir değer olmasını sağlar:

  $T = \frac{\pi}{|4|}$

• Adım 4: Periyodu Hesaplayalım

  $|4|$'ün değeri $4$'tür. Bu durumda periyot:

  $T = \frac{\pi}{4}$

  olarak bulunur. Bu sonuç, $h(x) = \tan(4x)$ fonksiyonunun grafiğinin her $\frac{\pi}{4}$ birimde bir kendini tekrar edeceği anlamına gelir.

• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz periyot değeri $\frac{\pi}{4}$'tür. Seçeneklere baktığımızda, A seçeneğinin $\frac{\pi}{4}$ olduğunu görürüz. Diğer seçenekler B) $\frac{\pi}{2}$, C) $\pi$ ve D) $2\pi$ farklı değerlerdir.

Cevap A seçeneğidir.