Bir fabrikada üretilen vidaların boyları 5 cm olması gerekmektedir. Kalite kontrol uzmanı, boyu |x - 5| < 0.1 eşitsizliğini sağlayan vidaları kabul edilebilir olarak işaretlemektedir. Buna göre kabul edilebilir vidaların boyları hangi aralıktadır?
A) (4.8, 5.2)Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir fabrikada üretilen vidaların kalitesini belirleyen bir eşitsizliği inceleyeceğiz. Vidaların ideal boyu $5$ cm olmalı, ancak küçük sapmalara izin veriliyor. Bu sapmaları mutlak değer eşitsizliği ile ifade etmişler. Şimdi adım adım bu eşitsizliği çözerek kabul edilebilir vidaların boy aralığını bulalım.
1. Adım: Mutlak Değer Eşitsizliğini Anlayalım
Soruda verilen eşitsizlik $|x - 5| < 0.1$ şeklindedir. Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Genel olarak, eğer $a$ pozitif bir sayı olmak üzere $|A| < a$ şeklinde bir mutlak değer eşitsizliği varsa, bu eşitsizlik $-a < A < a$ şeklinde yazılabilir. Bu, $A$'nın $-a$ ile $a$ arasında bir değer alması gerektiği anlamına gelir.
2. Adım: Eşitsizliği Uygulayalım
Bizim eşitsizliğimizde $A = x - 5$ ve $a = 0.1$'dir. Yukarıdaki kuralı bu değerlere uyguladığımızda, eşitsizliği şu şekilde yeniden yazabiliriz:
$-0.1 < x - 5 < 0.1$
3. Adım: $x$'i Yalnız Bırakalım
Amacımız $x$'in hangi aralıkta olduğunu bulmak. Bunun için eşitsizliğin her üç tarafına da $5$ eklemeliyiz. Böylece ortadaki $x - 5$ ifadesindeki $-5$ yok olacak ve sadece $x$ kalacaktır:
$-0.1 + 5 < x - 5 + 5 < 0.1 + 5$
Şimdi toplama işlemlerini yapalım:
$4.9 < x < 5.1$
4. Adım: Kabul Edilebilir Boy Aralığını Belirleyelim
Bulduğumuz eşitsizlik $4.9 < x < 5.1$ şeklindedir. Bu, vidaların boyunun $4.9$ cm'den büyük ve $5.1$ cm'den küçük olması gerektiği anlamına gelir. Matematikte bu tür bir aralık, açık aralık olarak $(4.9, 5.1)$ şeklinde gösterilir.
5. Adım: Seçeneklerle Karşılaştıralım
Bulduğumuz aralık $(4.9, 5.1)$'dir. Seçeneklere baktığımızda, bu aralığın B seçeneğinde olduğunu görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
