Bir üçgende $a = 6$, $b = 8$ ve $\angle C = 90^\circ$ ise, kosinüs teoremi kullanılarak $c$ kenarı nasıl bulunur?
A) $c^2 = 6^2 + 8^2 - 2(6)(8) \cos 90^\circ$Bu soruda, bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü verildiğinde, üçüncü kenarın uzunluğunu Kosinüs Teoremi'ni kullanarak nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz.
Bir üçgende kenarlar $a$, $b$, $c$ ve bu kenarların karşısındaki açılar sırasıyla $A$, $B$, $C$ olsun. Kosinüs Teoremi, bir kenarın karesini diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu iki kenarın çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasıyla ifade eder. $c$ kenarı için formül şöyledir:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$
Soruda bize şu bilgiler verilmiştir:
Kenar $a = 6$
Kenar $b = 8$
Açı $\angle C = 90^\circ$
Bizden $c$ kenarının Kosinüs Teoremi kullanılarak nasıl bulunacağı isteniyor.
Şimdi, verilen $a$, $b$ ve $\angle C$ değerlerini Kosinüs Teoremi formülüne yerleştirelim:
$$c^2 = (6)^2 + (8)^2 - 2(6)(8) \cos 90^\circ$$
Bulduğumuz bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin tam olarak bizim formülümüzle eşleştiğini görüyoruz:
A) $c^2 = 6^2 + 8^2 - 2(6)(8) \cos 90^\circ$
Diğer seçenekler Kosinüs Teoremi'nin doğru formülüne uymamaktadır. Örneğin, B seçeneğinde eksi yerine artı işareti kullanılmıştır, C seçeneğinde $b^2$ terimi çıkarılmıştır ve D seçeneği ise Kosinüs Teoremi'nin tam halini değil, özel bir durumdaki sonucunu göstermektedir.
Bu özel durumda, $\angle C = 90^\circ$ olduğu için üçgen bir dik üçgendir. Dik üçgenlerde $\cos 90^\circ = 0$ olduğunu biliyoruz. Bu durumda Kosinüs Teoremi formülü şuna dönüşür:
$$c^2 = 6^2 + 8^2 - 2(6)(8)(0)$$
$$c^2 = 6^2 + 8^2 - 0$$
$$c^2 = 6^2 + 8^2$$
Bu da aslında Pisagor Teoremi'nin ta kendisidir! Kosinüs Teoremi, Pisagor Teoremi'nin daha genel bir halidir ve dik üçgenler için Pisagor Teoremi'ne indirgenir. Ancak soru, Kosinüs Teoremi kullanılarak nasıl bulunduğunu sorduğu için, formülün tam halini gösteren A seçeneği doğru cevaptır.
Doğru cevap A seçeneğidir.
