Kosinüs teoremi formülü Test 1

Bir paralelkenarın kenar uzunlukları 4 ve 6 birimdir. Bu kenarlar arasındaki açı $120^\circ$ ise, köşegen uzunluklarından birinin karesi kaçtır?

A) 28
B) 52
C) 76
D) 100

Bir paralelkenarın köşegen uzunluklarını bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanırız. Paralelkenarın temel özelliklerini hatırlayalım:

• Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
• Ardışık iki açının toplamı $180^\circ$'dir.

Soruda verilen bilgilere göre:

• Kenar uzunlukları: $a = 4$ birim ve $b = 6$ birim.
• Bu kenarlar arasındaki açı: $\theta_1 = 120^\circ$.

Paralelkenarın ardışık açılarının toplamı $180^\circ$ olduğu için, diğer açı $\theta_2 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ olacaktır.

Bir paralelkenarın iki farklı köşegeni vardır. Bu köşegenlerin uzunluklarını, kenar uzunlukları ve aralarındaki açıyı kullanarak Kosinüs Teoremi ile bulabiliriz.

Kosinüs Teoremi: Bir üçgende kenar uzunlukları $x, y$ ve bu kenarlar arasındaki açı $\alpha$ ise, üçüncü kenarın uzunluğu $z$ için $z^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos(\alpha)$ formülü kullanılır.

Şimdi köşegenlerden birinin karesini bulalım. Genellikle, verilen açının karşısındaki köşegenin uzunluğu sorulur veya seçeneklerde bu değer bulunur.

• $120^\circ$'lik açının karşısındaki köşegenin karesini ($d_1^2$) bulalım:

  Bu köşegen, kenar uzunlukları $a=4$ ve $b=6$ olan ve aralarındaki açı $120^\circ$ olan bir üçgenin üçüncü kenarıdır.

  $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ)$

  Değerleri yerine yazalım:

  $d_1^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)$

  Öncelikle $\cos(120^\circ)$ değerini bulalım. $\cos(120^\circ) = -\cos(180^\circ - 120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.

  Şimdi bu değeri formülde yerine koyalım:

  $d_1^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2})$

  $d_1^2 = 52 - (48 \cdot (-\frac{1}{2}))$

  $d_1^2 = 52 - (-24)$

  $d_1^2 = 52 + 24$

  $d_1^2 = 76$

Bulduğumuz $76$ değeri, seçenekler arasında C seçeneğinde yer almaktadır.

Diğer köşegenin karesini de (eğer sorulsaydı) $60^\circ$'lik açıyı kullanarak bulabilirdik:

• $60^\circ$'lik açının karşısındaki köşegenin karesini ($d_2^2$) bulalım:

  $d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^\circ)$

  $d_2^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)$

  $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

  $d_2^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot (\frac{1}{2})$

  $d_2^2 = 52 - (48 \cdot \frac{1}{2})$

  $d_2^2 = 52 - 24$

  $d_2^2 = 28$

Soruda "köşegen uzunluklarından birinin karesi" istendiği için ve $76$ değeri seçeneklerde bulunduğu için doğru cevabı bulmuş olduk.

Cevap C seçeneğidir.