Gerçek sayılar kümesinde $A = [-3, 5)$ ve $B = (2, 7]$ aralıkları veriliyor. Buna göre $A \cap B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $[-3, 7]$
B) $(2, 5)$
C) $[2, 5)$
D) $(-3, 7]$
E) $[2, 5]$
Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek aralık kavramını ve kesişim işlemini daha iyi anlamanızı sağlayacağım.
- Adım 1: Aralıkları Anlamak
Öncelikle $A$ ve $B$ aralıklarının ne anlama geldiğini hatırlayalım:
- $A = [-3, 5)$ aralığı, $-3$ dahil olmak üzere $5$'e kadar olan (5 hariç) tüm gerçek sayıları içerir. Köşeli parantez "[" dahil olduğunu, normal parantez ")" ise hariç olduğunu gösterir.
- $B = (2, 7]$ aralığı, $2$ hariç olmak üzere $7$'ye kadar olan (7 dahil) tüm gerçek sayıları içerir.
- Adım 2: Kesişim Kümesini Bulmak
$A \cap B$, $A$ ve $B$ kümelerinin ortak elemanlarını, yani her iki aralıkta da bulunan sayıları ifade eder. Bunu bulmak için sayı doğrusu üzerinde bu aralıkları görselleştirebiliriz.
Şimdi, hangi sayıların hem $A$ hem de $B$ aralığında olduğuna bakalım:
- $A$ aralığı $-3$'ten başlar ve $B$ aralığı $2$'den başlar. Dolayısıyla kesişim $2$'den başlamalıdır. Ancak $2$, $B$ aralığına dahil değildir (çünkü parantez ile gösterilmiş).
- $A$ aralığı $5$'te biter (5 dahil değil) ve $B$ aralığı $7$'de biter (7 dahil). Dolayısıyla kesişim $5$'te bitmelidir. $5$, $A$ aralığına dahil olmadığı için kesişime de dahil olmayacaktır.
- Adım 3: Kesişim Kümesini İfade Etmek
Yukarıdaki analize göre, $A \cap B$ aralığı $2$'den başlar (2 hariç) ve $5$'te biter (5 hariç). Bu da $(2, 5)$ şeklinde ifade edilir.
Bu nedenle, $A \cap B = (2, 5)$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
