İfadesi polinom ise n nin alabileceği değerler toplamı

Question

Polinom olması için ifadenin bir doğal sayı üssü olması gerekiyor. Negatif veya kesirli üsler polinom belirtmez. Bu yüzden n'nin alabileceği değerleri bulurken bu kurala dikkat etmem lazım.

Answer 1

Bu tür sorularda, bir ifadenin polinom olabilmesi için tüm değişkenlerin üssünün (kuvvetinin) doğal sayı (0, 1, 2, 3, ...) olması gerekir.

Polinom Olma Şartları

• Değişkenin (genellikle x) kuvveti doğal sayı olmalıdır.
• Değişken bir ifadenin paydasında bulunmamalıdır.
• Değişken kök içerisinde (örneğin karekök) bulunmamalıdır.

Soruda genellikle \( P(x) = 5x^{n-2} + 3x^{n+1} - 7 \) gibi bir ifade verilir ve "Bu ifade bir polinom ise n'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?" diye sorulur.

Çözüm Adımları

Her bir terim için üssün doğal sayı olma şartını ayrı ayrı kontrol ederiz:

• Birinci terim: \( x^{n-2} \) → \( n-2 \geq 0 \) olmalı. Yani \( n \geq 2 \)
• İkinci terim: \( x^{n+1} \) → \( n+1 \geq 0 \) olmalı. Yani \( n \geq -1 \)
• Sabit terim (-7) için herhangi bir kısıtlama yoktur.

Tüm şartları aynı anda sağlayan n değerlerini bulmak için bu eşitsizliklerin kesişimini alırız.

\( n \geq 2 \) ve \( n \geq -1 \) ifadelerinin kesişimi \( n \geq 2 \)'dir.

Ancak burada dikkat edilmesi gereken nokta, n'nin bir tam sayı olduğudur. Bu durumda n'nin alabileceği değerler:

n = 2, 3, 4, 5, ... (sonsuza kadar gider)

Bu sonsuz serinin toplamı da sonsuz olur. Bu genellikle istenen bir cevap değildir. Bu nedenle, sorularda genellikle üssün hem doğal sayı hem de bir tam sayı olduğu belirtilir veya üslerden birinin negatif olma ihtimali vardır.

Daha Gerçekçi Bir Örnek

Diyelim ki ifademiz: \( P(x) = x^{n-2} + 4x^{3-n} + 1 \) olsun.

Polinom olma şartlarını uygulayalım:

• \( x^{n-2} \) için: \( n-2 \geq 0 \) → \( n \geq 2 \)
• \( x^{3-n} \) için: \( 3-n \geq 0 \) → \( n \leq 3 \)

İki şartı birlikte sağlayan n değerleri: \( 2 \leq n \leq 3 \)

n bir tam sayı olduğundan alabileceği değerler: n = 2 ve n = 3'tür.

Bu değerlerin toplamı ise: \( 2 + 3 = 5 \) olur.

Sonuç: Bir ifadenin polinom olması için değişkenlerin kuvvetlerinin doğal sayı olması gerekir. Tüm terimler için bu şartı sağlayan ve sorunun bağlamına uygun (genellikle tam sayı olan) n değerleri bulunur ve bu değerlerin toplamı hesaplanır.