Gerçek sayılar kümesinde, her $x, y \in \mathbb{R}$ için $x \Delta y = x+y-xy$ işlemi tanımlanıyor. Bu işlem için aşağıdaki özelliklerden hangisi doğrudur?
A) Değişme özelliği yoktur.
B) Birleşme özelliği yoktur.
C) Etkisiz elemanı yoktur.
D) Her elemanın tersi vardır.
E) Değişme özelliği vardır.
İşte verilen sorunun adım adım çözümü:
Öncelikle $\Delta$ işleminin ne anlama geldiğini ve hangi özellikleri taşıdığını inceleyelim.
* Değişme Özelliği: İşlemin değişme özelliği olup olmadığını anlamak için, $x \Delta y = y \Delta x$ eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığına bakmalıyız.
* $x \Delta y = x + y - xy$
* $y \Delta x = y + x - yx = x + y - xy$ (Çünkü çarpma işleminde değişme özelliği vardır.)
* Görüldüğü gibi $x \Delta y = y \Delta x$ eşitliği sağlanıyor. Yani, $\Delta$ işleminin değişme özelliği vardır. Bu durumda A ve B seçenekleri elenir.
* Etkisiz Eleman: Bir $e$ elemanı için, her $x$ reel sayısı için $x \Delta e = x$ ve $e \Delta x = x$ oluyorsa, $e$ etkisiz elemandır.
* $x \Delta e = x + e - xe = x$ olmalı.
* $e - xe = 0$
* $e(1 - x) = 0$
* $e = 0$ (Çünkü bu eşitliğin her $x$ için sağlanması gerekiyor.)
* $x \Delta 0 = x + 0 - x \cdot 0 = x$ olduğundan, etkisiz eleman vardır ve $0$'dır. Bu durumda C seçeneği de elenir.
* Ters Eleman: Bir $x$ elemanının tersi $x^{-1}$ ise, $x \Delta x^{-1} = e$ (etkisiz eleman) olmalıdır. Bizim durumumuzda etkisiz eleman $0$ olduğundan, $x \Delta x^{-1} = 0$ olmalı.
* $x \Delta x^{-1} = x + x^{-1} - x \cdot x^{-1} = 0$
* $x^{-1} - x \cdot x^{-1} = -x$
* $x^{-1}(1 - x) = -x$
* $x^{-1} = \frac{-x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$
* Ancak, $x = 1$ için $x^{-1}$ tanımsızdır. Yani her elemanın tersi yoktur. Bu durumda D seçeneği de elenir.
Sonuç olarak, $\Delta$ işleminin değişme özelliği vardır.
Cevap E seçeneğidir.
