9. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 3

Gerçek sayılar kümesi üzerinde $K = (-\infty, 4]$ ve $L = [-1, \infty)$ aralıkları veriliyor. Buna göre $K \cup L$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $[-1, 4]$
B) $(-\infty, \infty)$
C) $(-\infty, -1]$
D) $[4, \infty)$
E) $\emptyset$

Bu soruda, iki farklı gerçek sayı aralığının birleşimini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilen Aralıkları Anlayalım:

  Bize $K = (-\infty, 4]$ aralığı verilmiş. Bu aralık, 4 sayısını ve 4'ten küçük tüm gerçek sayıları içerir. Yani, $-\infty$ (eksi sonsuz) ile 4 arasındaki tüm sayılar, 4 dahil.

  Diğer aralık ise $L = [-1, \infty)$ olarak verilmiş. Bu aralık, $-1$ sayısını ve $-1$'den büyük tüm gerçek sayıları içerir. Yani, $-1$ ile $\infty$ (artı sonsuz) arasındaki tüm sayılar, $-1$ dahil.

• 2. Birleşim İşlemini Hatırlayalım ($K \cup L$):

  İki kümenin birleşimi ($K \cup L$), bu kümelerden en az birinde bulunan tüm elemanların oluşturduğu kümedir. Yani, $K$'de olan veya $L$'de olan (ya da her ikisinde de olan) tüm sayıları bir araya getireceğiz.

• 3. Aralıkları Sayı Doğrusunda Görselleştirelim:

  Bu tür aralık problemlerini çözmenin en kolay yolu, sayı doğrusu üzerinde görselleştirmektir. Bir sayı doğrusu çizdiğimizi hayal edelim:

  Önce $K = (-\infty, 4]$ aralığını işaretleyelim. Sayı doğrusunun sol tarafından başlayıp 4'e kadar geliriz ve 4 noktasını dahil olduğu için kapalı bir nokta (veya koyu bir çizgi) ile gösteririz.

  Şimdi de $L = [-1, \infty)$ aralığını işaretleyelim. $-1$ noktasından başlayıp sayı doğrusunun sağ tarafına doğru sonsuza kadar gideriz ve $-1$ noktasını dahil olduğu için kapalı bir nokta ile gösteririz.

• 4. Birleşimi Belirleyelim:

  Sayı doğrusu üzerinde $K$ ve $L$ aralıklarını üst üste çizdiğimizde, hangi bölgelerin tarandığını (yani hangi sayıların bu aralıklardan en az birinde olduğunu) gözlemleyelim:

  $K$ aralığı, 4'ten sol tarafa doğru sonsuza kadar uzanır.

  $L$ aralığı, $-1$'den sağ tarafa doğru sonsuza kadar uzanır.

  Bu iki aralığı birleştirdiğimizde, sayı doğrusunun tamamının tarandığını görürüz. Çünkü 4'ten küçük tüm sayılar $K$'de, $-1$'den büyük tüm sayılar ise $L$'dedir. $-1$ ile 4 arasındaki sayılar hem $K$'de hem de $L$'de bulunur. Bu durumda, sayı doğrusu üzerindeki her gerçek sayı, ya $K$'de ya $L$'de ya da her ikisinde de yer alır.

• 5. Sonucu Aralık Olarak Yazalım:

  Sayı doğrusunun tamamını kapsayan aralık, tüm gerçek sayılar kümesidir ve bu küme $(-\infty, \infty)$ şeklinde gösterilir.

• 6. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz $(-\infty, \infty)$ aralığı, seçeneklerdeki B şıkkına karşılık gelmektedir.

Cevap B seçeneğidir.