Gerçek sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği aşağıdakilerden hangisinde doğru gösterilmiştir?
A) $a \cdot b = b \cdot a$
B) $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$
C) $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$
D) $a \cdot 1 = a$
E) $a \cdot 0 = 0$
Sevgili öğrenciler, bu soruda gerçek sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliğinin (associative property) hangi seçenekte doğru gösterildiğini bulmamız isteniyor. Öncelikle bu özelliğin ne anlama geldiğini hatırlayalım.
- Birleşme Özelliği (Associative Property): Bir işlemde, üç veya daha fazla sayıyı işleme sokarken sayıların gruplandırılma şeklinin (yani parantezlerin yerinin) sonucunu değiştirmemesidir. Çarpma işleminde bu, hangi iki sayıyı önce çarpacağımızın sonucu etkilemediği anlamına gelir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $a \cdot b = b \cdot a$ Bu ifade, çarpma işleminin değişme özelliğini (commutative property) gösterir. Sayıların sırası değişse bile çarpım sonucunun aynı kalacağını belirtir. Örneğin, $3 \cdot 5 = 15$ ve $5 \cdot 3 = 15$. Bu, birleşme özelliği değildir.
- B) $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$ Bu ifade, çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğini (distributive property) gösterir. Bir sayının, parantez içindeki bir toplama işlemine nasıl dağıtıldığını açıklar. Örneğin, $2 \cdot (3+4) = 2 \cdot 7 = 14$ ve $2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 6 + 8 = 14$. Bu da birleşme özelliği değildir.
- C) $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ İşte aradığımız özellik! Bu ifade, çarpma işleminde sayıların gruplandırılma şeklinin sonucu değiştirmediğini gösterir. Yani, önce $b$ ile $c$'yi çarpıp sonra $a$ ile çarpmakla, önce $a$ ile $b$'yi çarpıp sonra $c$ ile çarpmak aynı sonucu verir. Örneğin, $2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 = 24$ ve $(2 \cdot 3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$. Bu, birleşme özelliğidir.
- D) $a \cdot 1 = a$ Bu ifade, çarpma işleminin etkisiz eleman özelliğini (identity property) gösterir. Bir sayının $1$ ile çarpımının sayının kendisini verdiğini belirtir. $1$ sayısı çarpma işleminde etkisiz elemandır. Bu da birleşme özelliği değildir.
- E) $a \cdot 0 = 0$ Bu ifade, çarpma işleminin yutan eleman özelliğini (zero property) gösterir. Bir sayının $0$ ile çarpımının sonucunun her zaman $0$ olduğunu belirtir. $0$ sayısı çarpma işleminde yutan elemandır. Bu da birleşme özelliği değildir.
Yukarıdaki açıklamalara göre, çarpma işleminin birleşme özelliğini doğru gösteren seçenek C seçeneğidir.
Cevap C seçeneğidir.
