Etkisiz eleman, bir işlemde diğer elemanları değiştirmeyen elemandır. Yani, herhangi bir $a$ sayısı için, $a \star e = a$ ve $e \star a = a$ olacak şekilde bir $e$ sayısı arıyoruz.
- Öncelikle verilen işlemi yazalım: $a \star b = a + b - ab$.
- Etkisiz elemanı bulmak için $a \star e = a$ eşitliğini kullanalım. Bu durumda: $a \star e = a + e - ae = a$ olur.
- Şimdi bu denklemi $e$ için çözelim: $a + e - ae = a$ eşitliğinde, her iki taraftan $a$'yı çıkarırsak $e - ae = 0$ elde ederiz.
- $e - ae = 0$ ifadesini $e(1 - a) = 0$ şeklinde yazabiliriz.
- Bu eşitliğin sağlanması için ya $e = 0$ olmalı ya da $1 - a = 0$ olmalıdır. Ancak $1-a=0$ her $a$ için geçerli değildir. Etkisiz eleman tüm $a$ değerleri için aynı olmalıdır. Dolayısıyla $e = 0$ olmalıdır.
- Şimdi de $e \star a = a$ eşitliğini kontrol edelim: $e \star a = e + a - ea = a$ olmalı. $e = 0$ ise, $0 + a - 0 \cdot a = a$ olur. Bu da $a = a$ demektir, yani eşitlik sağlanır.
- Bu durumda etkisiz eleman $0$'dır.
Cevap B seçeneğidir.
