Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, verilen sayılar arasından hangisinin irrasyonel bir sayı olduğunu bulmamız isteniyor. Öncelikle rasyonel ve irrasyonel sayıların ne anlama geldiğini hatırlayalım:
- Rasyonel Sayılar: Bir $a$ tam sayısı ve bir $b$ sıfırdan farklı tam sayısı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayıların ondalık gösterimleri ya sonludur (örneğin $0.5$) ya da tekrar eden bir örüntüye sahiptir (örneğin $0.333...$).
- İrrasyonel Sayılar: $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayıların ondalık gösterimleri sonsuzdur ve tekrar eden bir örüntüye sahip değildir (yani düzensizdir).
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $0.333...$: Bu sayı, tekrar eden bir ondalık gösterime sahiptir. Bu tür sayılar rasyoneldir ve $\frac{1}{3}$ olarak yazılabilir. Dolayısıyla $0.333...$ rasyonel bir sayıdır.
- B) $\sqrt{4}$: Bu sayının değeri $2$'dir. $2$ bir tam sayıdır ve her tam sayı rasyoneldir (örneğin $\frac{2}{1}$ olarak yazılabilir). Dolayısıyla $\sqrt{4}$ rasyonel bir sayıdır.
- C) $\frac{1}{2}$: Bu sayı zaten $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılmıştır ($a=1$, $b=2$). Dolayısıyla $\frac{1}{2}$ rasyonel bir sayıdır.
- D) $\pi$: Pi ($\pi$) sayısı, matematikte çok önemli bir sabittir. Yaklaşık değeri $3.14159265...$ şeklindedir. Pi sayısının ondalık gösterimi sonsuzdur ve tekrar eden bir örüntüye sahip değildir. Bu nedenle $\pi$ irrasyonel bir sayıdır.
- E) $-5$: Bu sayı bir tam sayıdır. Her tam sayı rasyoneldir (örneğin $\frac{-5}{1}$ olarak yazılabilir). Dolayısıyla $-5$ rasyonel bir sayıdır.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece $\pi$ sayısının irrasyonel sayı tanımına uyduğunu görüyoruz.
Cevap D seçeneğidir.
