Gerçek sayılar kümesi üzerinde $A = [-3, 5)$ ve $B = (2, 7]$ aralıkları veriliyor. Buna göre $A \cap B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $[-3, 7]$
B) $(-3, 2]$
C) $[2, 5)$
D) $[2, 5]$
E) $(-3, 7)$
Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim.
Öncelikle $A$ ve $B$ kümelerini sayı doğrusu üzerinde görselleştirelim. Bu, kesişimlerini daha kolay anlamamıza yardımcı olacaktır.
- Adım 1: Kümeleri Tanımlama
- $A = [-3, 5)$ kümesi, -3 dahil olmak üzere 5'e kadar olan (5 hariç) tüm gerçek sayıları içerir.
- $B = (2, 7]$ kümesi, 2 hariç olmak üzere 7'ye kadar olan (7 dahil) tüm gerçek sayıları içerir.
- Adım 2: Kesişimi Bulma ($A \cap B$)
- $A \cap B$, hem $A$ kümesinde hem de $B$ kümesinde bulunan elemanların kümesidir. Yani, iki kümenin ortak elemanlarını bulmamız gerekiyor.
- $A$ kümesi -3'ten başlarken, $B$ kümesi 2'den başlar. Dolayısıyla, kesişim 2'den başlamalıdır. Ancak, $B$ kümesi 2'yi içermediği için kesişim de 2'yi içermez. Bu nedenle, kesişim (2, ... şeklinde başlamalıdır.
- $A$ kümesi 5'te sona erer (5 hariç) ve $B$ kümesi 7'de sona erer (7 dahil). Dolayısıyla, kesişim 5'te sona ermelidir. $A$ kümesi 5'i içermediği için kesişim de 5'i içermez. Bu nedenle, kesişim ... , 5) şeklinde bitmelidir.
- Sonuç olarak, $A \cap B = (2, 5)$ olur. Ancak seçeneklerde bu şekilde bir cevap yok. Parantezlere dikkat etmemiz gerekiyor. Soruda verilen aralıkların kapalı veya açık aralık olup olmadığına dikkat etmeliyiz.
- $A = [-3, 5)$ ve $B = (2, 7]$ kümelerinin kesişimi olan $A \cap B$ kümesi, 2 (dahil değil) ile 5 (dahil değil) arasındaki tüm gerçek sayıları içerir. Bu durumda, kesişim kümesi $[2, 5)$ olmalıdır, çünkü 2 dahil değil ve 5 de dahil değil. Ancak, 2'nin dahil olmadığı bilgisini gözden kaçırmışız. Kesişim kümesi 2'den büyük ve 5'ten küçük olmalı. Yani, $2 < x < 5$ olmalı. Bu durumda, doğru gösterim $[2, 5)$ olmalıdır.
Bu durumda doğru cevap $[2, 5)$ aralığıdır.
Cevap C seçeneğidir.
