8. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 4. senaryo Test 4

🎓 8. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 4. senaryo Test 4 - Ders Notu

Merhaba 8. sınıf öğrencileri! Bu ders notu, 1. dönem 2. yazılı sınavınızda karşılaşabileceğiniz temel matematik konularını, özellikle kareköklü sayılar, gerçek sayılar ve bilimsel gösterim başlıklarını sade ve anlaşılır bir şekilde özetlemek için hazırlandı. Sınavda başarılar dileriz!

📌 Kareköklü Sayılar

Kareköklü sayılar, bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir. Bu konu, matematiğin temel taşlarından biridir.

• Karekök Tanımı: Bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren sayıdır. Örneğin, $5 \times 5 = 25$ olduğu için $25$'in karekökü $5$'tir ve $\sqrt{25} = 5$ şeklinde gösterilir.
• Tam Kare Sayılar: Bir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayılar denir. Örnek: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, ...$
• Karekök Dışına Çıkarma ($a\sqrt{b}$ Şeklinde Yazma): Tam kare olmayan sayıların karekökünü alırken, kök içindeki sayıyı bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazarak tam kare olan kısmı kök dışına çıkarırız.
  • Örnek: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
• Katsayıyı Kök İçine Alma: Kök dışındaki bir sayıyı kök içine almak için, o sayının karesini alıp kök içindeki sayıyla çarparız.
  • Örnek: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \times 5} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{45}$.

💡 İpucu: Karekök dışına çıkarma ve içeri alma işlemleri birbirinin tersidir. Bu iki işlemi iyi anlamak, kareköklü sayılarla yapılan diğer işlemleri kolaylaştırır.

📌 Kareköklü Sayılarla İşlemler

Kareköklü sayılarla dört işlem yaparken belirli kurallara uymak önemlidir.

• Çarpma İşlemi: Kareköklü sayılar çarpılırken, kök dışındaki sayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar kendi arasında çarpılır.
  • Örnek: $2\sqrt{3} \times 5\sqrt{7} = (2 \times 5)\sqrt{3 \times 7} = 10\sqrt{21}$.
• Bölme İşlemi: Kareköklü sayılar bölünürken, kök dışındaki sayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar kendi arasında bölünür.
  • Örnek: $\frac{6\sqrt{10}}{3\sqrt{2}} = \frac{6}{3}\sqrt{\frac{10}{2}} = 2\sqrt{5}$.
• Toplama ve Çıkarma İşlemi: Kareköklü sayılar toplanır veya çıkarılırken, sadece kök içleri aynı olan (benzer) terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. Kök içi aynı kalır.
  • Örnek: $3\sqrt{5} + 7\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (3 + 7 - 2)\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$.

⚠️ Dikkat: Kök içleri farklı olan kareköklü sayılar toplanamaz veya çıkarılamaz. Örneğin, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ ifadesi bu haliyle kalır.

📌 Ondalık İfadelerin Karekökü

Ondalık gösterimi verilen bir sayının karekökünü alırken, sayıyı kesir olarak yazarız ve pay ile paydanın ayrı ayrı karekökünü alırız.

• Örnek: $\sqrt{0.04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0.2$.
• Örnek: $\sqrt{1.44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}} = \frac{12}{10} = 1.2$.

📌 Kareköklü Bir Sayıyı Doğal Sayı Yapan Çarpanlar

Bir kareköklü sayıyı doğal sayı yapmak için, kök içini tam kare yapacak bir çarpanla çarpmamız gerekir.

• Örnek: $\sqrt{8}$ sayısını doğal sayı yapmak için $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ şeklinde yazarız. Bu sayıyı doğal sayı yapmak için kendisiyle veya kök içi aynı olan bir sayı ile çarpmalıyız.
  • $\sqrt{8} \times \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4$ (doğal sayı oldu).
  • $2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{4} = 2 \times 2 = 4$ (doğal sayı oldu).
• Genel olarak, $\sqrt{a}$ sayısını doğal sayı yapmak için $\sqrt{a}$ ile çarpmak yeterlidir.

📌 Gerçek (Reel) Sayılar

Sayı kümeleri, matematiğin temelini oluşturur. Gerçek sayılar kümesi, bildiğimiz tüm sayıları kapsar.

• Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır.
  • Örnek: $5 = \frac{5}{1}$, $-3 = \frac{-3}{1}$, $0.7 = \frac{7}{10}$, $\frac{1}{3}$, $0.\overline{3}$ (devirli ondalık sayılar).
• İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{I}$): Rasyonel olmayan, yani $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılardır. Virgülden sonrası düzensiz ve sonsuz devam eden sayılardır.
  • Örnek: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{7}$ (tam kare olmayan sayıların karekökleri), $\pi$ (pi sayısı).
• Gerçek Sayılar ($\mathbb{R}$): Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. Sayı doğrusundaki tüm noktaları temsil eder.

💡 İpucu: Her tam sayı bir rasyonel sayıdır, her rasyonel sayı bir gerçek sayıdır. Ancak her gerçek sayı rasyonel değildir (irrasyonel de olabilir).

📌 Bilimsel Gösterim

Çok büyük veya çok küçük sayıları daha anlaşılır ve kısa bir şekilde ifade etmek için bilimsel gösterim kullanılır.

• Tanım: Bir sayının bilimsel gösterimi $a \times 10^n$ şeklindedir. Burada;
  • $1 \le |a| < 10$ olmalıdır (yani $a$ sayısı $1$ ile $10$ arasında bir sayı olmalıdır, $1$ dahil, $10$ hariç).
  • $n$ bir tam sayıdır.
• Örnekler:
  • $345.000.000 = 3.45 \times 10^8$ (Virgülü $8$ basamak sola kaydırdık, $n=8$).
  • $0.00000012 = 1.2 \times 10^{-7}$ (Virgülü $7$ basamak sağa kaydırdık, $n=-7$).

⚠️ Dikkat: Bilimsel gösterimde $a$ sayısının $1$ ile $10$ arasında olmasına çok dikkat edin. Örneğin, $34.5 \times 10^7$ bilimsel gösterim değildir, çünkü $34.5$ sayısı $10$'dan büyüktür.

📝 Bu konuları tekrar ederek ve bolca soru çözerek sınavınıza en iyi şekilde hazırlanabilirsiniz. Başarılar dileriz!