Yatay sürtünmesiz bir düzlemde durmakta olan $2\text{ kg}$ kütleli bir cisme etki eden net kuvvetin yer değiştirmeye bağlı grafiği şekildeki gibidir. (Grafik: Yatay eksen yer değiştirme ($x$), düşey eksen kuvvet ($F$). $0-3\text{ m}$ aralığında $F=10\text{ N}$ sabit. $3-5\text{ m}$ aralığında $F$ değeri $10\text{ N}$'dan $0\text{ N}$'a doğrusal olarak azalıyor. Yani $(3,10)$ ve $(5,0)$ noktalarından geçen bir doğru.) Cismin $5\text{ m}$ konumundaki hızı kaç $\text{m/s}$'dir?
A) $\sqrt{10}$Sevgili öğrenciler, bu soruda bir cisme etki eden net kuvvetin yer değiştirmeye bağlı grafiği verilmiş ve cismin belirli bir konumdaki hızı isteniyor. Bu tür soruları çözmek için İş-Enerji Teoremi'ni kullanacağız. Haydi adım adım ilerleyelim!
Kuvvet-yer değiştirme ($F-x$) grafiğinin altında kalan alan, cisme etki eden net kuvvetin yaptığı işi verir. Grafiği iki bölgeye ayırarak toplam işi hesaplayalım:
Bu aralıkta kuvvet sabittir ve $F=10\text{ N}$ değerindedir. Bu bölgedeki iş, bir dikdörtgenin alanına eşittir.
$W_1 = \text{Kuvvet} \times \text{Yer Değiştirme}$
$W_1 = 10\text{ N} \times (3\text{ m} - 0\text{ m}) = 10\text{ N} \times 3\text{ m} = 30\text{ J}$
Bu aralıkta kuvvet $10\text{ N}$'dan $0\text{ N}$'a doğrusal olarak azalmaktadır. Bu bölgedeki iş, bir üçgenin alanına eşittir.
$W_2 = \frac{1}{2} \times \text{Taban} \times \text{Yükseklik}$
$W_2 = \frac{1}{2} \times (5\text{ m} - 3\text{ m}) \times 10\text{ N} = \frac{1}{2} \times 2\text{ m} \times 10\text{ N} = 10\text{ J}$
Cisme etki eden net kuvvetin yaptığı toplam iş, bu iki bölgedeki işlerin toplamıdır:
$W_{toplam} = W_1 + W_2 = 30\text{ J} + 10\text{ J} = 40\text{ J}$
İş-Enerji Teoremi'ne göre, bir cisme etki eden net kuvvetin yaptığı iş, cismin kinetik enerjisindeki değişime eşittir. Yani:
$W_{toplam} = \Delta K = K_{son} - K_{ilk}$
Burada $K_{ilk}$ cismin başlangıçtaki kinetik enerjisi, $K_{son}$ ise $5\text{ m}$ konumundaki kinetik enerjisidir.
Cisim başlangıçta durmakta olduğu için ilk hızı $v_{ilk} = 0\text{ m/s}$'dir. Dolayısıyla, ilk kinetik enerjisi de $K_{ilk} = \frac{1}{2}mv_{ilk}^2 = \frac{1}{2}m(0)^2 = 0\text{ J}$ olur.
Bu durumda İş-Enerji Teoremi şu şekli alır:
$W_{toplam} = K_{son}$
$40\text{ J} = \frac{1}{2}mv_{son}^2$
Cismin kütlesi $m = 2\text{ kg}$ olarak verilmiştir. Bu değeri ve hesapladığımız toplam işi formülde yerine koyalım:
$40 = \frac{1}{2} \times 2 \times v_{son}^2$
$40 = 1 \times v_{son}^2$
$v_{son}^2 = 40$
Her iki tarafın karekökünü alarak cismin $5\text{ m}$ konumundaki hızını buluruz:
$v_{son} = \sqrt{40}\text{ m/s}$
Bu ifadeyi sadeleştirelim:
$v_{son} = \sqrt{4 \times 10}\text{ m/s}$
$v_{son} = 2\sqrt{10}\text{ m/s}$
Buna göre, cismin $5\text{ m}$ konumundaki hızı $2\sqrt{10}\text{ m/s}$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
