Bir cismin yatayda hareket ederken uygulanan kuvvetin konum grafiği şekildeki gibidir. Cisim $x=0$ konumunda durmakta iken, $x=8$ metre konumuna geldiğinde kinetik enerjisi kaç Joule olur? (Sürtünmeler ihmal edilmiştir.)
(Grafik: $F$ (N) dikey eksen, $x$ (m) yatay eksen. $0-2$ m arası $F=10$ N sabit. $2-4$ m arası $F$ doğrusal olarak $10$'dan $0$'a düşüyor. $4-6$ m arası $F$ doğrusal olarak $0$'dan $-5$'e düşüyor. $6-8$ m arası $F=-5$ N sabit.)
A) $15$
B) $20$
C) $25$
D) $30$
E) $35$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir cisme uygulanan kuvvetin konumla nasıl değiştiğini gösteren bir grafik verilmiş. Bizden istenen ise, cismin belirli bir konuma geldiğindeki kinetik enerjisini bulmak. Bu tür soruları çözerken en önemli yardımcımız "İş-Enerji Teoremi"dir. Haydi adım adım bu teoremi kullanarak soruyu çözelim:
- 1. İş-Enerji Teoremi'ni Hatırlayalım: İş-Enerji Teoremi der ki, bir cisim üzerinde yapılan net iş, cismin kinetik enerjisindeki değişime eşittir. Matematiksel olarak bunu $W_{net} = \Delta K = K_{son} - K_{ilk}$ şeklinde ifade ederiz. Burada $W_{net}$ net işi, $K_{son}$ son kinetik enerjiyi ve $K_{ilk}$ ilk kinetik enerjiyi temsil eder.
- 2. Başlangıç Durumunu Belirleyelim: Soruda cismin $x=0$ konumunda durmakta olduğu belirtiliyor. Bu ne anlama gelir? Cisim durduğu için başlangıçtaki hızı sıfırdır ve dolayısıyla ilk kinetik enerjisi de sıfırdır. Yani, $K_{ilk} = 0$.
- 3. Hedefimizi Belirleyelim: Cisim $x=8$ metre konumuna geldiğinde kinetik enerjisi soruluyor. İş-Enerji Teoremi'ne göre $W_{net} = K_{son} - 0$, yani $K_{son} = W_{net}$ olacaktır. O halde yapmamız gereken tek şey, $x=0$ konumundan $x=8$ konumuna kadar cisme etki eden net kuvvetin yaptığı işi bulmaktır.
- 4. Net İşi Hesaplayalım (Grafik Alanı): Kuvvet-konum ($F-x$) grafiğinde yapılan iş, grafiğin altında kalan alana eşittir. Pozitif kuvvetler pozitif iş yaparken, negatif kuvvetler negatif iş yapar. Grafiği parçalara ayırarak alanları hesaplayalım:
- $0-2$ metre arası ($W_1$): Bu aralıkta kuvvet $F=10$ N sabittir. Şekil bir dikdörtgendir.
$W_1 = \text{Alan}_1 = \text{taban} \times \text{yükseklik} = (2 \text{ m} - 0 \text{ m}) \times 10 \text{ N} = 2 \text{ m} \times 10 \text{ N} = 20 \text{ J}$.
- $2-4$ metre arası ($W_2$): Bu aralıkta kuvvet $10$ N'dan $0$ N'a doğrusal olarak düşmektedir. Şekil bir üçgendir.
$W_2 = \text{Alan}_2 = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times (4 \text{ m} - 2 \text{ m}) \times 10 \text{ N} = \frac{1}{2} \times 2 \text{ m} \times 10 \text{ N} = 10 \text{ J}$.
- $4-6$ metre arası ($W_3$): Bu aralıkta kuvvet $0$ N'dan $-5$ N'a doğrusal olarak düşmektedir. Şekil, x-ekseninin altında kalan bir üçgendir, bu yüzden yapılan iş negatiftir.
$W_3 = \text{Alan}_3 = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times (6 \text{ m} - 4 \text{ m}) \times (-5) \text{ N} = \frac{1}{2} \times 2 \text{ m} \times (-5) \text{ N} = -5 \text{ J}$.
- $6-8$ metre arası ($W_4$): Bu aralıkta kuvvet $F=-5$ N sabittir. Şekil, x-ekseninin altında kalan bir dikdörtgendir, bu yüzden yapılan iş negatiftir.
$W_4 = \text{Alan}_4 = \text{taban} \times \text{yükseklik} = (8 \text{ m} - 6 \text{ m}) \times (-5) \text{ N} = 2 \text{ m} \times (-5) \text{ N} = -10 \text{ J}$.
- 5. Toplam Net İşi Bulalım: Tüm bu işleri toplayarak net işi buluruz:
$W_{net} = W_1 + W_2 + W_3 + W_4$
$W_{net} = 20 \text{ J} + 10 \text{ J} + (-5) \text{ J} + (-10) \text{ J}$
$W_{net} = 30 \text{ J} - 15 \text{ J} = 15 \text{ J}$.
- 6. Kinetik Enerjiyi Hesaplayalım: İş-Enerji Teoremi'ne göre $K_{son} = W_{net}$ olduğu için:
$K_{son} = 15 \text{ J}$.
Yani, cisim $x=8$ metre konumuna geldiğinde kinetik enerjisi $15$ Joule olacaktır.
Cevap A seçeneğidir.
