Sürtünmesiz bir eğik düzlemin alt ucundan $10 \text{ m/s}$ hızla yukarı doğru fırlatılan $1 \text{ kg}$ kütleli bir cisim, eğik düzlem üzerinde en fazla kaç metre yüksekliğe çıkabilir? (Yer çekimi ivmesi $g=10 \text{ m/s}^2$ alınız.)
A) $2.5$
B) $5$
C) $7.5$
D) $10$
E) $12.5$
Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için enerji korunumu ilkesini kullanacağız. Sürtünmesiz bir ortamda, bir cismin mekanik enerjisi (kinetik enerji + potansiyel enerji) daima korunur. Yani, cismin başlangıçtaki toplam mekanik enerjisi, en yüksek noktaya çıktığındaki toplam mekanik enerjisine eşit olacaktır.
- Adım 1: Başlangıçtaki Enerjileri Belirleyelim
- Cisim eğik düzlemin alt ucundan $10 \text{ m/s}$ hızla fırlatılıyor. Bu noktayı referans alarak potansiyel enerjiyi sıfır kabul edebiliriz.
- Cismin başlangıçtaki kinetik enerjisi ($K_i$): $K_i = \frac{1}{2}mv_i^2$
- Verilenler: Kütle $m = 1 \text{ kg}$, başlangıç hızı $v_i = 10 \text{ m/s}$.
- $K_i = \frac{1}{2} \times 1 \text{ kg} \times (10 \text{ m/s})^2 = \frac{1}{2} \times 100 \text{ J} = 50 \text{ J}$.
- Cismin başlangıçtaki potansiyel enerjisi ($U_i$): $U_i = mgh_i$. Başlangıç yüksekliğini $h_i = 0$ aldığımız için $U_i = 0 \text{ J}$.
- Başlangıçtaki toplam mekanik enerji ($E_i$): $E_i = K_i + U_i = 50 \text{ J} + 0 \text{ J} = 50 \text{ J}$.
- Adım 2: En Yüksek Noktadaki Enerjileri Belirleyelim
- Cisim eğik düzlem üzerinde en fazla yüksekliğe çıktığında, anlık olarak durur ve hızı sıfır olur. Bu noktadan sonra aşağıya doğru hareket etmeye başlar.
- Cismin en yüksek noktadaki kinetik enerjisi ($K_f$): $K_f = \frac{1}{2}mv_f^2$. En yüksek noktada hız $v_f = 0$ olduğu için $K_f = 0 \text{ J}$.
- Cismin en yüksek noktadaki potansiyel enerjisi ($U_f$): $U_f = mgh_f$. Burada $h_f$ cismin çıkabileceği maksimum yüksekliktir.
- En yüksek noktadaki toplam mekanik enerji ($E_f$): $E_f = K_f + U_f = 0 \text{ J} + mgh_f = mgh_f$.
- Adım 3: Enerji Korunumunu Uygulayalım ve Yüksekliği Bulalım
- Sürtünmesiz bir ortamda mekanik enerji korunur, yani $E_i = E_f$.
- $50 \text{ J} = mgh_f$
- Verilenler: Kütle $m = 1 \text{ kg}$, yer çekimi ivmesi $g = 10 \text{ m/s}^2$.
- $50 \text{ J} = 1 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2 \times h_f$
- $50 = 10 h_f$
- Her iki tarafı $10$'a bölersek: $h_f = \frac{50}{10} = 5 \text{ m}$.
Yani cisim, eğik düzlem üzerinde en fazla $5 \text{ metre}$ yüksekliğe çıkabilir.
Cevap B seçeneğidir.
