Bir cisim, yerden $H$ yüksekliğinden yatay $v_0$ hızıyla atılıyor. Hava direnci ihmal edildiğine göre, cismin yere çarpma hızı $V$ ve yatayda aldığı yol $x$ için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? (Yer çekimi ivmesi $g$ sabittir.)
A) $V = \sqrt{2gH}$, $x = v_0 \sqrt{\frac{2H}{g}}$
B) $V = v_0 + gt$, $x = v_0 t$
C) $V = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$, $x = v_0 t$
D) $V = \sqrt{v_0^2 + 2gH}$, $x = v_0 \sqrt{\frac{2H}{g}}$
E) $V = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$, $x = v_0 \sqrt{\frac{H}{2g}}$
Bu problem, yatay atış hareketini anlamamızı gerektiren bir fizik sorusudur. Cismin hareketini yatay ve düşey bileşenlerine ayırarak inceleyelim. Hava direnci ihmal edildiği için, yatayda sabit hızla hareket ederken, düşeyde serbest düşme hareketi yapacaktır.
- 1. Düşey Hareketi İnceleyelim ve Uçuş Süresini ($t$) Bulalım:
- Cisim, $H$ yüksekliğinden yatay olarak atıldığı için ilk düşey hızı $v_{iy} = 0$'dır.
- Düşeyde yer çekimi ivmesi $g$ etkisiyle hızlanan bir hareket yapar.
- Düşeyde alınan yol (yükseklik) için kinematik denklemi kullanırız: $H = v_{iy}t + \frac{1}{2}gt^2$.
- $v_{iy} = 0$ olduğu için denklem $H = \frac{1}{2}gt^2$ şeklini alır.
- Bu denklemden uçuş süresini $t$ çekelim:
$t^2 = \frac{2H}{g}$
$t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$
- 2. Yatayda Alınan Yolu ($x$) Bulalım:
- Yatayda hava direnci olmadığı için cismin hızı sabittir ve ilk yatay hızı $v_0$'a eşittir. Yani $v_x = v_0$.
- Yatayda alınan yol, yatay hız ile uçuş süresinin çarpımıdır: $x = v_x t$.
- Bulduğumuz $t$ değerini yerine yazarsak:
$x = v_0 \sqrt{\frac{2H}{g}}$
- 3. Yere Çarpma Hızını ($V$) Bulalım:
- Cisim yere çarptığında hem yatay hem de düşey hıza sahip olacaktır.
- Yatay hız bileşeni sabittir: $v_x = v_0$.
- Düşey hız bileşeni ise $v_y = v_{iy} + gt$ formülüyle bulunur. $v_{iy} = 0$ olduğu için $v_y = gt$.
- Yere çarpma anındaki hız $V$, yatay ve düşey hız bileşenlerinin vektörel toplamının büyüklüğüdür. Bu bileşenler birbirine dik olduğu için Pisagor teoremini kullanırız:
$V = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
$V = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$
- Bu ifadeyi $H$ cinsinden de yazabiliriz. $t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ olduğu için, $v_y = g \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{g^2 \frac{2H}{g}} = \sqrt{2gH}$ olur.
- Bu $v_y$ değerini $V$ formülünde yerine yazarsak:
$V = \sqrt{v_0^2 + (\sqrt{2gH})^2}$
$V = \sqrt{v_0^2 + 2gH}$
- 4. Seçenekleri Kontrol Edelim:
- Bulduğumuz sonuçlar: $V = \sqrt{v_0^2 + 2gH}$ ve $x = v_0 \sqrt{\frac{2H}{g}}$.
- Bu sonuçlar D seçeneği ile birebir uyuşmaktadır.
Cevap D seçeneğidir.
