Sürtünmesiz bir ortamda, $m$ kütleli bir cisim yerden $H$ yüksekliğinden serbest bırakılıyor. Yere çarpma anındaki kinetik enerjisi $E_1$ oluyor. Aynı cisim, yerden $H$ yüksekliğinden $v$ hızıyla yatay olarak atıldığında yere çarpma anındaki kinetik enerjisi $E_2$ oluyor. Buna göre $E_2 - E_1$ farkı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 0
B) $\frac{1}{2}mv^2$
C) $mgh$
D) $mv^2$
E) $2mgh$
Sevgili öğrenciler, bu problemde sürtünmesiz bir ortamda cismin farklı başlangıç koşullarıyla yere çarpma anındaki kinetik enerjilerini karşılaştıracağız. Enerji korunumu prensibini kullanarak çözüme ulaşacağız.
- 1. Durum: Cisim serbest bırakılıyor.
- Cisim yerden $H$ yüksekliğinden serbest bırakıldığı için başlangıç hızı $v_0 = 0$'dır.
- Başlangıçtaki toplam enerjisi, potansiyel enerji ve kinetik enerjinin toplamıdır: $E_{başlangıç,1} = E_{potansiyel,başlangıç} + E_{kinetik,başlangıç}$.
- $E_{başlangıç,1} = mgH + \frac{1}{2}m(0)^2 = mgH$.
- Cisim yere çarptığı anda yüksekliği $0$ olur ve tüm potansiyel enerjisi kinetik enerjiye dönüşür. Yere çarpma anındaki kinetik enerjisi $E_1$ olarak verilmiştir.
- Enerji korunumu prensibine göre, sürtünmesiz bir ortamda başlangıçtaki toplam enerji, yere çarpma anındaki toplam enerjiye eşittir: $E_{başlangıç,1} = E_{yere çarpma,1}$.
- $mgH = E_1$.
- 2. Durum: Cisim $v$ hızıyla yatay olarak atılıyor.
- Cisim yerden $H$ yüksekliğinden $v$ hızıyla yatay olarak atıldığı için başlangıçta hem potansiyel enerjisi hem de yatay atıştan kaynaklanan bir kinetik enerjisi vardır.
- Başlangıçtaki toplam enerjisi: $E_{başlangıç,2} = E_{potansiyel,başlangıç} + E_{kinetik,başlangıç}$.
- $E_{başlangıç,2} = mgH + \frac{1}{2}mv^2$.
- Cisim yere çarptığı anda yüksekliği $0$ olur. Yere çarpma anındaki kinetik enerjisi $E_2$ olarak verilmiştir.
- Enerji korunumu prensibine göre: $E_{başlangıç,2} = E_{yere çarpma,2}$.
- $mgH + \frac{1}{2}mv^2 = E_2$.
- Burada dikkat etmemiz gereken nokta, cismin yatay hızı $v$ ve dikey hızı (düşme nedeniyle oluşan) birleşerek yere çarpma anındaki toplam hızını oluşturur. Ancak enerji korunumu prensibini doğrudan uyguladığımızda, başlangıçtaki toplam enerji (potansiyel + kinetik) yere çarpma anındaki toplam kinetik enerjiye eşit olacaktır. Yani yere çarpma anındaki $E_2$ kinetik enerjisi, cismin o andaki toplam hızına karşılık gelen kinetik enerjidir.
- Farkı hesaplama: $E_2 - E_1$
- Şimdi bulduğumuz $E_1$ ve $E_2$ değerlerini yerine koyarak farkı hesaplayalım:
- $E_2 - E_1 = \left(mgH + \frac{1}{2}mv^2\right) - (mgH)$.
- Parantezleri açtığımızda $mgH$ terimleri birbirini götürecektir.
- $E_2 - E_1 = mgH + \frac{1}{2}mv^2 - mgH$.
- $E_2 - E_1 = \frac{1}{2}mv^2$.
Bu sonuç, cismin başlangıçta sahip olduğu yatay kinetik enerjiye eşittir. Yani, cismin başlangıçtaki yatay hızı nedeniyle kazandığı ek enerji, yere çarpma anındaki kinetik enerji farkını oluşturur.
Cevap B seçeneğidir.
