10. Sınıf Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler Test 1

3. f(x) = x² - 4x + 3 fonksiyonu veriliyor. f(x) < 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değerlerinin çarpımı kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 6

Bu soruda, verilen bir parabolik fonksiyonun hangi $x$ değerleri için negatif olduğunu bulmamız ve bu $x$ tam sayılarının çarpımını hesaplamamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Eşitsizliği Kurma

  Öncelikle, $f(x) < 0$ eşitsizliğini, $f(x)$'in verilen ifadesini kullanarak yazalım:

  $x^2 - 4x + 3 < 0$

• Adım 2: Fonksiyonun Köklerini Bulma

  Eşitsizliği çözmek için, $x^2 - 4x + 3 = 0$ denkleminin köklerini bulmalıyız. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz:

  $(x-1)(x-3) = 0$

  Buradan kökler:

  $x_1 = 1$

  $x_2 = 3$

• Adım 3: İşaret Tablosu Oluşturma

  Şimdi, bulduğumuz kökleri bir sayı doğrusuna yerleştirerek $x^2 - 4x + 3$ ifadesinin işaretini inceleyelim. Parabolün baş katsayısı ($x^2$'nin katsayısı) $1$ olduğu için pozitif bir değerdir. Bu, parabolün kollarının yukarı doğru açık olduğu anlamına gelir. Kökler arasında işaret ters döner.

  Sayı doğrusunda kökleri işaretleyelim:

  $(-\infty)$ ----- $1$ ----- $3$ ----- $(+\infty)$

  İşaretler şu şekilde olacaktır:

  $(-\infty, 1)$ aralığında: Pozitif ($+$)

  $(1, 3)$ aralığında: Negatif ($-$)

  $(3, +\infty)$ aralığında: Pozitif ($+$)

• Adım 4: Eşitsizliği Sağlayan Aralığı Belirleme

  Bizden $f(x) < 0$ eşitsizliğini sağlayan $x$ değerleri isteniyor. İşaret tablosuna baktığımızda, fonksiyonun negatif olduğu aralık $(1, 3)$ aralığıdır.

  Yani, $1 < x < 3$ olmalıdır.

• Adım 5: Tam Sayı Değerlerini Bulma

  $1 < x < 3$ aralığında bulunan tam sayı değeri sadece $x=2$'dir.

• Adım 6: Tam Sayı Değerlerinin Çarpımını Hesaplama

  Bu eşitsizliği sağlayan tek tam sayı değeri $2$ olduğu için, bu değerlerin çarpımı da $2$ olacaktır.

  Çarpım = $2$

Cevap A seçeneğidir.