Bir üçgenin kenar uzunlukları $6$ cm, $8$ cm ve $10$ cm olarak verilmiştir. Bu kenar uzunluklarının aritmetik ortalaması ile geometrik ortalaması arasındaki farkı bulmak için aşağıdaki adımları takip edelim:
- 1. Adım: Kenar Uzunluklarını Belirleyelim
- Verilen kenar uzunlukları $a=6$, $b=8$ ve $c=10$ cm'dir.
- 2. Adım: Aritmetik Ortalamayı (AO) Hesaplayalım
- Üç sayının aritmetik ortalaması, bu sayıların toplamının sayı adedine bölünmesiyle bulunur. Formülü $AO = \frac{a + b + c}{3}$ şeklindedir.
- Verilen değerleri yerine yazarsak:
- $AO = \frac{6 + 8 + 10}{3}$
- $AO = \frac{24}{3}$
- $AO = 8$
- Aritmetik ortalama $8$'dir.
- 3. Adım: Geometrik Ortalamayı (GO) Hesaplayalım
- Üç pozitif sayının geometrik ortalaması, bu sayıların çarpımının küpkökü alınarak bulunur. Formülü $GO = \sqrt[3]{a \cdot b \cdot c}$ şeklindedir.
- Verilen değerleri yerine yazarsak:
- $GO = \sqrt[3]{6 \cdot 8 \cdot 10}$
- $GO = \sqrt[3]{480}$
- Şimdi $\sqrt[3]{480}$ değerini yaklaşık olarak bulalım. $7^3 = 343$ ve $8^3 = 512$ olduğu için, $\sqrt[3]{480}$ değeri $7$ ile $8$ arasında, $8$'e daha yakın bir sayıdır.
- Hesap makinesi kullanarak daha hassas bir değer bulabiliriz: $GO \approx 7.831$
- Geometrik ortalama yaklaşık $7.831$'dir.
- 4. Adım: Aritmetik Ortalama ile Geometrik Ortalama Arasındaki Farkı Bulalım
- İstenen fark, aritmetik ortalama ile geometrik ortalama arasındaki mutlak değer farkıdır:
- Fark = $|AO - GO|$
- Fark = $|8 - 7.831|$
- Fark $\approx 0.169$
- 5. Adım: Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Bulduğumuz fark değeri yaklaşık $0.169$'dur. Şimdi bu değeri verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $0.28$
- B) $0.42$
- C) $0.67$
- D) $0.85$
- $0.169$ değerine en yakın seçenek $0.28$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
