10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 1. senaryo test 1

Bir $x$ doğal sayısı $4$'e bölündüğünde $2$ kalanını, $5$'e bölündüğünde $3$ kalanını ve $6$'ya bölündüğünde $4$ kalanını vermektedir. Buna göre, $x$'in alabileceği en küçük üç basamaklı doğal sayı değeri kaçtır?

A) 118
B) 120
C) 122
D) 128
E) 130

Bu problem, bir sayının farklı bölenlere göre verdiği kalanları kullanarak sayıyı bulma üzerine kurulu bir modüler aritmetik problemidir. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım:

• Verilen Bilgileri Matematiksel Olarak İfade Edelim:

  Soruda verilen bilgilere göre, $x$ doğal sayısı için şu denklikleri yazabiliriz:

  • $x \equiv 2 \pmod{4}$ (Yani, $x$ sayısı $4$'e bölündüğünde $2$ kalanını verir.)
  • $x \equiv 3 \pmod{5}$ (Yani, $x$ sayısı $5$'e bölündüğünde $3$ kalanını verir.)
  • $x \equiv 4 \pmod{6}$ (Yani, $x$ sayısı $6$'ya bölündüğünde $4$ kalanını verir.)
• Kalanlar Arasındaki İlişkiyi Bulalım:

  Şimdi her bir denkliğin bölen ve kalan arasındaki farkına dikkat edelim:

  • $4 - 2 = 2$
  • $5 - 3 = 2$
  • $6 - 4 = 2$

  Gördüğümüz gibi, her durumda bölen ile kalan arasındaki fark $2$'dir. Bu çok önemli bir ipucudur! Bu durum bize şunu söyler: Eğer $x$ sayısına $2$ eklersek, elde ettiğimiz yeni sayı $(x+2)$, hem $4$'e, hem $5$'e, hem de $6$'ya tam bölünecektir.

• En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulalım:

  Madem ki $x+2$ sayısı $4$, $5$ ve $6$'ya tam bölünüyor, o zaman $x+2$ sayısı bu üç sayının ortak katı olmalıdır. Bizim aradığımız en küçük $x$ değeri olduğu için, $x+2$'nin bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) olmasını düşünebiliriz. $4$, $5$ ve $6$ sayılarının EKOK'unu bulalım:

  • $4 = 2^2$
  • $5 = 5^1$
  • $6 = 2 \times 3$

  $EKOK(4, 5, 6) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.

• $x$ Sayısının Genel Formunu Yazalım:

  Demek ki $x+2$ sayısı $60$'ın bir katı olmalıdır. Bunu matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz:

  • $x+2 = 60k$ (Burada $k$ bir pozitif tam sayıdır.)

  Şimdi $x$'i yalnız bırakalım:

  • $x = 60k - 2$
• En Küçük Üç Basamaklı $x$ Değerini Bulalım:

  Bizden istenen, $x$'in alabileceği en küçük üç basamaklı doğal sayı değeridir. Üç basamaklı sayılar $100$'den başlar. Bu yüzden $x \ge 100$ olmalıdır.

  • $60k - 2 \ge 100$
  • $60k \ge 100 + 2$
  • $60k \ge 102$
  • $k \ge \frac{102}{60}$
  • $k \ge 1.7$

  $k$ bir tam sayı olduğu için, $k$'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri $2$'dir.

• $x$ Değerini Hesaplayalım:

  $k=2$ değerini $x = 60k - 2$ formülünde yerine koyalım:

  • $x = 60 \times 2 - 2$
  • $x = 120 - 2$
  • $x = 118$
• Cevabı Kontrol Edelim:

  Bulduğumuz $x=118$ sayısının koşulları sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:

  • $118 \div 4 = 29$ kalan $2$ (Doğru)
  • $118 \div 5 = 23$ kalan $3$ (Doğru)
  • $118 \div 6 = 19$ kalan $4$ (Doğru)

  $118$ sayısı aynı zamanda en küçük üç basamaklı sayıdır (çünkü $k=1$ için $x = 60 \times 1 - 2 = 58$ olurdu ki bu iki basamaklıdır).

Cevap A seçeneğidir.