Bir kutudaki bilyeler 4'erli sayıldığında 3 bilye, 5'erli sayıldığında 4 bilye artıyor. Kutudaki bilye sayısı 50'den az olduğuna göre, bilye sayısı kaçtır?
A) 19
B) 29
C) 39
D) 49
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problem, bize bir sayının farklı sayılara bölündüğünde verdiği kalanları kullanarak o sayıyı bulmamızı isteyen klasik bir soru tipidir. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: Problemi Matematiksel İfadelere Çevirme
- Öncelikle, kutudaki bilye sayısına bir harf verelim. Bilye sayısı $B$ olsun.
- "4'erli sayıldığında 3 bilye artıyor" ifadesi, $B$ sayısının 4 ile bölümünden kalanın 3 olduğu anlamına gelir. Bunu matematiksel olarak şöyle yazabiliriz: $B = 4k + 3$ (burada $k$ bir tam sayıdır).
- "5'erli sayıldığında 4 bilye artıyor" ifadesi ise, $B$ sayısının 5 ile bölümünden kalanın 4 olduğu anlamına gelir. Bunu da şöyle yazabiliriz: $B = 5m + 4$ (burada $m$ bir tam sayıdır).
- Adım 2: Ortak Bir Özellik Bulma
- Şimdi dikkatlice düşünelim: Eğer bilye sayısına 1 ekleseydik ne olurdu?
- Eğer $B+1$ olsaydı:
- $B+1 = (4k + 3) + 1 = 4k + 4 = 4(k+1)$. Bu, $B+1$ sayısının 4'ün tam katı olduğu anlamına gelir. Yani 4'e tam bölünürdü.
- $B+1 = (5m + 4) + 1 = 5m + 5 = 5(m+1)$. Bu da, $B+1$ sayısının 5'in tam katı olduğu anlamına gelir. Yani 5'e tam bölünürdü.
- Demek ki, bilye sayısına 1 eklediğimizde elde ettiğimiz sayı ($B+1$), hem 4'e hem de 5'e tam bölünebilen bir sayı olmalıdır.
- Adım 3: En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulma
- Hem 4'e hem de 5'e tam bölünebilen sayılar, bu iki sayının ortak katlarıdır. Bu ortak katların en küçüğüne En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir.
- 4 ve 5 sayıları aralarında asal sayılardır (yani 1'den başka ortak bölenleri yoktur). Aralarında asal sayıların EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir.
- $EKOK(4, 5) = 4 \times 5 = 20$.
- Bu durumda, $B+1$ sayısı 20'nin bir katı olmalıdır.
- Adım 4: Olası Bilye Sayılarını Belirleme
- $B+1$ sayısı 20'nin katları olabilir: $20, 40, 60, 80, ...$
- Şimdi bu değerlerden $B$ sayısını bulalım:
- Eğer $B+1 = 20$ ise, $B = 20 - 1 = 19$.
- Eğer $B+1 = 40$ ise, $B = 40 - 1 = 39$.
- Eğer $B+1 = 60$ ise, $B = 60 - 1 = 59$.
- Ve bu şekilde devam eder. Yani bilye sayısı $19, 39, 59, ...$ gibi değerler alabilir.
- Adım 5: Verilen Koşulu Uygulama
- Soruda bize önemli bir bilgi daha verilmiş: "Kutudaki bilye sayısı 50'den az olduğuna göre".
- Bulduğumuz olası bilye sayıları ($19, 39, 59, ...$) arasından 50'den küçük olanları seçmeliyiz.
- Bu sayılar $19$ ve $39$'dur.
- Adım 6: Doğru Cevabı Seçeneklerden Bulma
- Şimdi seçeneklere bakalım: A) 19, B) 29, C) 39, D) 49.
- Hem 19 hem de 39, sorudaki tüm koşulları sağlayan sayılardır. Ancak soru "bilye sayısı kaçtır?" diye tek bir cevap beklemektedir. Seçeneklerde bu iki sayıdan biri veya ikisi de bulunabilir.
- Verilen seçenekler arasında 19 ve 39 bulunmaktadır. Bu durumda, sorunun bizden beklediği cevap, seçeneklerdeki doğru olanıdır.
- Seçenek A'da 19 sayısı verilmiştir ve bu sayı tüm koşulları sağlamaktadır.
- Kontrol edelim:
- 19 bilye: 4'erli sayıldığında $19 \div 4 = 4$ (kalan 3). Doğru.
- 19 bilye: 5'erli sayıldığında $19 \div 5 = 3$ (kalan 4). Doğru.
- 19 bilye: 50'den az. Doğru.
Cevap A seçeneğidir.
